河北省保定市定州市第二中学2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷（PDF版，含答案）

河北省定州市第二中学 2024-2025 学年高二上学期 12 月联考数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.与向量 = (2,0, 2)同向的单位向量为( ) √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 1 1 A. ( , 0, ) B. ( , 0, ) C. ( , 0, ) D. (1,0, 1) 2 2 2 2 2 2 2.已知直线 2 1 = 0与直线 + ( + 1) + 4 = 0平行，则 =( ) A. 1 B. 3 C. 0或1 D. 0或 3 4 2 3.在数列{ }中，若 1 = ， +1 = 2 ，则下列数不是{ }中的项的是( ) 3 1 A. 2 B. 1 C. D. 3 2 4.已知圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 2与圆 ： 2 + 2 6 8 + = 0恰有三条公切线，则 =( ) A. 15 B. 17 C. 21 D. 23 5.设 是等差数列{ }的前 项和，若 10 6 = 6，则 16 =( ) A. 12 B. 18 C. 24 D. 32 6.在三棱柱 1 1 1 中，已知 (1,0,1)， (0,1,1)， (0,2,0)，且 (2,2,4)为平面 1 1 1上一点，则三棱 柱 1 1 1 的高为( ) A. √ 3 B. 2√ 3 C. √ 6 D. 2√ 6 5 7.已知抛物线 = 2的焦点为 ， 为抛物线上一动点，点 (√ 3, )，记 到 轴的距离为 ，则 + | |的最 4 小值为( ) 3 5 7 9 A. B. C. D. 4 4 4 4 8.在棱长为1的正方体 1 1 1 1中， 为正方体内一动点(包括表面)，若 = + + 1， 且0 ≤ ≤ ≤ 1，则 1的取值范围为( ) 1 1 A. [ 1,1] B. [ , 1] C. [1,2] D. [ , 2] 4 4 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若点 ( , 4)和点 ( 1 , 3)关于直线 ： + 3 = 0对称，则( ) A. = 0 B. = 1 C. = 1 D. = 1 2 2 10.已知 ， 分别是双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右顶点， 是 上位于第一象限内任意一点， 直线 ， 的斜率分别为 1， 2，若 的离心率为2，则下列说法正确的是( ) 第 1 页，共 7 页 A. | | + | |为定值 B. 的渐近线方程为 = ±√ 3 C. 1 2为定值 D. 1 + 2 > 2√ 3 5 11.已知数列{ }满足 +1 = 5 3 +1 1， 1 = ，设数列{ 13 }的前 项和为 ，前 项积为 ，则 下列说法正确的是( ) 1 A. 数列{ }是等差数列 B. 数列{ }的最大项为 7 1 C. 使得 取得最小值的 为7 D. 有最小值，无最大值 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 1 12.在四面体 中，空间的一个点 满足 = + + ，若 ， ， 、 四点共面，则 = 3 _____． √ 3 13.已知 > ，则关于 的不等式√ 4 2 ≥ ( 3) + √ 3的解集为_____． 3 2 2 14.设 1， 2是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的两个焦点， 为 上一点.若 为坐标原点，| | = | 2|，且 △ 1 2的面积等于8，则 = _____， 的取值范围为_____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知圆 的圆心在直线 = 3 + 1上，且点 (1,2)， ( 1,4)在 上． (1)求圆 的标准方程； (2)若倾斜角为 的直线 经过点 (0,4)，且 与圆 相交于 ， 两点，求| |． 4 16.(本小题15分) 已知过抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，当直线 垂直于 轴时，| | = 4． (1)求抛物线 的方程； (2)若| | = 6，求直线 的方程． 17.(本小题15分) 记等差数列{ }的前 项和为 ， 3 + 4 = 14， 5 = 30． (1)证明：数列{ 2 }是等差数列． (2)若数列{ }满足 1 = 2 1，且 +1 = + ，求{ }的通项公式． 18.(本小题17分) 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ⊥平面 ，∠ = ∠ = 60°， 为 的中点， 是线段 上一点． 第 2 页，共 7 页 (1)证明：平面 ⊥平面 ． (2)是否存在点 ，使得 //平面 ？若存在，求 的长；若不存在，说明理由． (3)求平面 与平面 夹角的余弦值的最大值． 19.(本小题17分) ′ = , 在平面直角坐标系 中，对于任意一点 ( , )，总存在一点 ( ′, ′)满足关系式 ：{ ( > 0, > 0)， ′ = 则称 为平面直角坐标系中的伸缩 ... ...