2024-2025学年河北省保定市定州二中高二（上）联考 数学试卷（12月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.与向量同向的单位向量为( ) A. B. C. D. 2.已知直线与直线平行，则( ) A. B. C. 或 D. 或 3.在数列中，若，，则下列数不是中的项的是( ) A. B. C. D. 4.已知圆：与圆：恰有三条公切线，则( ) A. B. C. D. 5.设是等差数列的前项和，若，则( ) A. B. C. D. 6.在三棱柱中，已知，，，且为平面上一点，则三棱柱的高为( ) A. B. C. D. 7.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，点，记到轴的距离为，则的最小值为( ) A. B. C. D. 8.在棱长为的正方体中，为正方体内一动点包括表面，若，且，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若点和点关于直线：对称，则( ) A. B. C. D. 10.已知，分别是双曲线：的左、右顶点，是上位于第一象限内任意一点，直线，的斜率分别为，，若的离心率为，则下列说法正确的是( ) A. 为定值 B. 的渐近线方程为 C. 为定值 D. 11.已知数列满足，，设数列的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是( ) A. 数列是等差数列 B. 数列的最大项为 C. 使得取得最小值的为 D. 有最小值，无最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在四面体中，空间的一个点满足，若，，、四点共面，则 _____． 13.已知，则关于的不等式的解集为_____． 14.设，是椭圆：的两个焦点，为上一点若为坐标原点，，且的面积等于，则 _____，的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知圆的圆心在直线上，且点，在上． 求圆的标准方程； 若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于，两点，求． 16.本小题分 已知过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点，当直线垂直于轴时，． 求抛物线的方程； 若，求直线的方程． 17.本小题分 记等差数列的前项和为，，． 证明：数列是等差数列． 若数列满足，且，求的通项公式． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，平面，，为的中点，是线段上一点． 证明：平面平面． 是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 19.本小题分 在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一点满足关系式：，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换． 在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得圆变换为椭圆． 在同一直角坐标系中，椭圆经平面直角坐标系中的伸缩变换：得到曲线． 求曲线的方程； 已知，，过点的直线交于，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：由题意设圆心，又因为点，在圆上， 所以，即， 解得，即，半径， 所以圆的方程为； 设倾斜角为的直线经过点，可得直线的方程为， 即， 可得圆心到直线的距离， 所以弦长． 16.解：抛物线：的焦点为， 令，解得， 故，解得， 故抛物线的方程为； 由题意可知，直线的斜率存在， 设直线的方程为， 设，， 联立，联立整理可得，， 由韦达定理可得，， 故，解得， 故直线的方程为，即． 17.解：证明：等差数列的前项和为，设公差为， 由，， 可得，， 解得， 则，， 即有， 可得数列是首项和公差均为的等差数列； 若数列满足，且， 可得，， 则． 18.证明：连接， 因为底面是边长为的菱形，且， 所以是等边三角形， 又为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以， 又，、平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面． 解：取的中点，连接，则，， 因为平面，， ... ...
