2024-2025学年广西南宁桂鼎学校高三（上）质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西南宁桂鼎学校高三（上）质检数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数满足，则( ) A. B. C. D. 2.下列命题中真命题的个数是( ) ，； 至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； 是无理数，是无理数． A. B. C. D. 3.已知向量，满足，且，则( ) A. B. C. D. 4.某试验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田种植环境相同连续次的产量如下： 甲 乙 则下列说法错误的是( ) A. 甲种水稻产量的众数为 B. 乙种水稻产量的极差为 C. 甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数 D. 甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差 5.如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 6.已知函数，的图象与直线有两个交点，则的最大值为( ) A. B. C. D. 7.在直三棱柱中，已知，是中点，则直线与平面所成角的正切值为( ) A. B. C. D. 8.若，，则的最大值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数，下列结论中正确的是( ) A. 函数的周期是 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的最小值是 D. 函数的图象关于点对称 10.已知抛物线：的焦点为，上一点到和到轴的距离分别为和，且点位于第一象限，以线段为直径的圆记为，则下列说法正确的是( ) A. B. 的准线方程为 C. 圆的标准方程为 D. 若过点，且与直线为坐标原点平行的直线与圆相交于，两点，则 11.已知函数，则( ) A. 的极小值为 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等差数列的前项和为，若，，则 ． 13.某商场在过道上设有两排座位每排座供顾客休息，小明、小红等四位同学去商场购物后坐在座位上休息，已知该时段座位上空无一人，则不同的坐法有_____种；若小明和小红坐在同一排，且每排都要有人坐，则不同的坐法有_____种用数字作答 14.已知角终边上一点，求的值_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且． 求； 若，求周长取值范围． 16.本小题分 已知函数，． Ⅰ若，求的值； Ⅱ当时，求曲线在点处的切线方程； Ⅲ若在时取得极值，求的值． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为的正三角形，． 求证：； 若平面平面，求二面角的余弦值． 18.本小题分 某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有、两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响若元素指标达标的概率为，元素指标达标的概率为，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品． 一个食品经过检测，求两类元素至少一类元素含量指标达标的概率； 任意依次抽取该种食品个，设表示其中合格品的个数，求分布列及． 19.本小题分 已知在正项数列中，，点在双曲线上在数列中，点在直线上，其中是数列的前项和． 求数列的通项公式并求出其前项和； 求证：数列是等比数列． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：． 由正弦定理可得：， 可得：， 为三角形内角，，解得，， ． 因为，， 利用正弦定理得：， 所以， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，，所以，，， 所以 16.解：Ⅰ，定义域为， ． ，． 解得． Ⅱ当时，，， ． ． 因此曲线在点处的切线方程为． Ⅲ在时取得极值， ，即， 解得． 当时，． 令，即，解得；令，即，解得． 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 在时取得极大值，符合题意． 因此． 17.解：证明：如图， ... ...