山东省名校考试联盟2025届高三上学期12月月考数学试卷（含答案）

山东省名校考试联盟 2025 届高三上学期 12 月月考数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 5 1.若集合 = { 2, 1,0,1,2}， = { | < < 2}，则 ∩ =( ) 2 A. { 1,0,1} B. { 2, 1,0,1} C. { 1,0,1,2} D. { 2, 1,0,1,2} 2.若 = ( , 1)， = (2, 1)，则“ = 2”是“ // ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.函数 ( ) = 在[ 1,1]上的最小值为( ) 1 A. 0 B. 1 C. + 1 D. 1 1 4.函数 = 的图象大致为( ) +1 A. B. C. D. ,当 为偶数时, 5.已知数列{ }满足： 1 = ， 为正整数， +1 = { 2 若 4 = 2，则 所有可能的取 3 + 1,当 为奇数时. 值的集合为( ) A. {2} B. {16} C. {2,16} D. {2,4,16} 2+3 6.已知 ∈ ，则 的最小值为( ) √ 2+2 3√ 2 A. 1 B. √ 2 C. 2 D. 2 7.已知 > 0，若函数 ( ) = sin( + )在(0, )上有且只有两个极值点，则 的取值范围是( ) 6 4 7 4 7 7 10 7 10 A. ( , ] B. [ , ] C. ( , ] D. [ , ] 3 3 3 3 3 3 3 3 第 1 页，共 9 页 8.祖暅，字景烁，祖冲之之子，南北朝时代的伟大科学家.祖暅在数学上有突 出的贡献，他在实践的基础上，提出了祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两 个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积 2 总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线 ： 2 = 1，若直线 = 3 0与 = 2在第一象限内与双曲线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕 轴旋转一周所得几何体的体积为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设 ， ∈ ，若 | | > 0，则下列结论正确的是( ) A. > 0 B. + > 0 C. 2 2 > 0 D. 3 + 3 > 0 10.设 1， 2为复数，则下列结论中正确的是( ) 1 A. 若 为虚数，则 1也为虚数 B. 若| 1 + | = 1，则| 1|的最大值为√ 2 1 C. | 1 2| = | 1 2| D. | 1 2| ≤ | 1| + | 2| 11.已知函数 ( )的定义域为 ， ( )的图象关于 = 对称，且 ( + 1)为奇函数，则( ) A. (1) + (0) = 2 B. ( ) + ( ) = 2 C. ( ( )) = D. (2024) = 2024 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 √ 3 12.若sin( + ) = ，则cos( ) = _____． 3 3 6 13.在等腰直角△ 中，已知 = = 6，若 ， 满足 = 2 ， = ， 与 交于点 ，则 在 上的投影向量的模为_____． 1 14.已知函数 ( ) = (1 ) ( + 1)，若对任意的 1， 2 ∈ (0, +∞)，且 2 1 < 2，都有 1 ( 1) 2 ( 2) > 0成立，则正实数 的取值范围是_____． 1 2 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知正项数列{ }满足 +1 = 2 +1 ( ∈ )，且 1 = 1． 第 2 页，共 9 页 1 (1)证明：数列{ }为等差数列，并求数列{ }的通项公式； 1 (2)证明： 1 2 + 2 3 + + +1 < ． 2 16.(本小题15分) sin( ) 记△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = ． (1)求 ； (2) 是 上的点， 平分∠ ，且 = 2， = 3，求△ 的面积． 17.(本小题15分) 如图，已知等腰梯形 ， = 4， = 6， = √ 5， ， 分别为 ， 的中点，沿线段 将四边 2 形 翻折到四边形 的位置，点 为线段 上一点，且满足 = ． 3 (1)证明： //平面 ； (2)设二面角 的平面角为 (0 < < )，在四边形 翻折过程中，是否存在 ，使得 与平 3√ 10 面 所成角的正弦值为 ，若存在，请说明理由． 10 18.(本小题17分) 已知函数 ( ) = + (1 + ) (1 + )ln(1 + )． 2 (1)若曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线与 轴平行，求 的值； 1 (2)设函数 ( ) = ( )，给出 ( )的定义域，并证明：曲线 = ( )是轴对称图形； 1 1 (3)证明：(1 + ) < (1 )( ∈ )． 2 +2 ... ...