(
课件网) 第一章 <<< 5.1 正弦函数的性质 1.理解、掌握正弦函数的性质. 2.会求简单函数的值域. 3.能利用单调性比较三角函数值的大小. 学习目标 当我们遇到一个新函数时，它总具有许多基本性质，要直观、全面地了解基本特性，自然是从它的图象入手，画出它的图象，观察图象的形状，看它的特殊点，并借助它的图象研究它的性质，如值域、单调性、奇偶性、最值等.今天我们就一起来学习正弦函数的性质吧. 导 语 一、正弦函数的性质 二、与正弦函数有关的周期性与奇偶性 随堂演练 三、正弦函数的单调区间 四、利用正弦函数单调性比较大小 内容索引 课时对点练 五、利用正弦函数的有界性求函数的值域或最值 一 正弦函数的性质 请大家认真观察正弦曲线，简单地说出正弦函数的定义域、值域、奇偶性. 问题1 提示 定义域：R；值域：[-1，1]；奇偶性：图象关于原点对称，为奇函数. 请大家认真观察正弦曲线，探索正弦函数图象的对称性，它有对称轴吗？有对称中心吗？ 问题2 提示 正弦函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形. 对称轴为x=+kπ，k∈Z；对称中心为(kπ，0)，k∈Z. 观察正弦曲线，正弦函数是不是单调函数？ 问题3 提示 正弦函数不是单调函数，但有多个单调区间. 函数 正弦函数y=sin x，x∈R 图象 定义域 R 最大(小)值和值域 当_____时，ymax=1；当_____时，ymin=-1. 值域是[-1，1] x=+2kπ，k∈Z x=+2kπ，k∈Z 函数 正弦函数y=sin x，x∈R 周期性 是周期函数，2π是它的最小正周期 单调性 在区间_____上单调递增； 在区间_____上单调递减 奇偶性 奇函数，图象关于 对称 对称轴 _____ 对称中心 _____ k∈Z k∈Z 原点 x=+kπ，k∈Z (kπ，0)，k∈Z (1)y=sin x的图象夹在y=±1之间. (2)正弦函数的对称中心是正弦曲线与x轴的交点，对称中心的横坐标即为函数的零点，对称轴方程为x=kπ+k∈Z. 注 意 点 <<< 二 与正弦函数有关的周期性与奇偶性 判断下列函数的奇偶性，并求函数的最小正周期. (1)f(x)=7sin x； 例 1 ∵x∈R，∴函数定义域关于原点对称， ∵f(-x)=7·sin(-x)=-7sin x=-f(x)， ∴f(x)是奇函数，最小正周期为2π. (2)f(x)=sin x(x∈R)； ∵x∈R， ∵f(-x)=sin x=-f(x)， ∴f(x)=sin x是奇函数. ∵sin x， ∴f(x)=sin x的最小正周期是4π. (3)f(x)=|sin x|. 作出f(x)=|sin x|的图象，如图. 由图象易知f(x)=|sin x|是偶函数. 最小正周期为π. 反 思 感 悟 (1)求与正弦函数有关的周期的常用方法：①定义法；②公式法；③图象法. (2)函数y=sin x，x∈[a，b]为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性.如y=sin x，x∈[0，2π]是非奇非偶函数. (1)f(x)=xsin x是 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数，又是偶函数 跟踪训练 1 √ ∵x∈R，∴定义域关于原点对称， 又f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x)， ∴f(x)为偶函数. (2)判断等式sin 是函数y=sin x的周期？ sin =sin 而sin 所以上述等式成立， 但不能说明是函数y=sin x的周期， 理由如下，若是函数y=sin x的周期， 则对任意的实数x，都有sin =sin x， 但当x=0时，sin ≠sin x， 所以不是函数y=sin x的周期. 三 正弦函数的单调区间 (1)y=sin x+1的单调递减区间为 . 例 2 k∈Z y=sin x+1的单调递减区间为k∈Z. 由sin x>0，得2kπ
