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课件网) 第二章 <<< 5.2 向量数量积的坐标表示 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决向量的模、夹角、垂直有关的问题. 3.能够利用向量坐标运算求点到直线的距离. 学习目标 同学们，前面我们学面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？ 导 语 一、平面向量数量积的坐标表示 二、向量的模 随堂演练 三、向量的夹角、垂直问题 四、求点到直线的距离 内容索引 课时对点练 一 平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，求i·i，j·j，i·j和j·i的值. 问题1 提示 i·i=j·j=1，i·j=j·i=0. a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b为多少？ 问题2 提示 a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j) =x1x2i·i+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j·j =x1x2+y1y2. 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.则a·b= . x1x2+y1y2 (1)已知a=(2，-1)，b=(1，-1)，则(a+2b)·(a-3b)等于 A.10 B.-10 C.3 D.-3 例 1 √ 因为a+2b=(4，-3)，a-3b=(-1，2)， 所以(a+2b)·(a-3b) =4×(-1)+(-3)×2=-10. 建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)， 因为 所以F. 所以 所以 =2×. (2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上= . 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2，并能灵活运用以下几个关系： (1)|a|2=a·a. (2)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2. (3)(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. 反 思 感 悟 (1)已知a=(1，1)，b=(2，5)，c=(3，x)，若(8a-b)·c=30，则x等于 A.6 B.5 C.4 D.3 跟踪训练 1 √ 由题意可得，8a-b=(6，3)， 又(8a-b)·c=30，c=(3，x)， ∴18+3x=30，解得x=4. (2)已知等于 A.-3 B.-2 C.2 D.3 √ 因为=(3，t)-(2，3)=(1，t-3)， |=1， 所以t=3，所以=(1，0)， 所以=2×1+3×0=2. 二 向量的模 提示 |a|2=a2=(xi+yj)·(xi+yj)=x2i·i+2xyi·j+y2j·j=x2+y2，故|a|=. 设a=(x，y)，探究|a|的值. 问题3 1.向量的模 设a=(x，y)，则|a|2= ，或|a|=_____. 2.两点间的距离 如果表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么a= ，|a|=|_____. 这就是平面直角坐标系中两点间的距离公式. x2+y2 (x2-x1，y2-y1) 设a=(x，y)，则与a共线的单位向量为±. 注 意 点 <<< (1)已知向量a=(2，m)，b=(3，6)，若|3a+b|=|3a-b|，则实数m的值为 A.1 B.-1 C.4 D.-4 例 2 √ 方法一 已知向量a=(2，m)，b=(3，6)， 则3a+b=(9，3m+6)，3a-b=(3，3m-6)， 由|3a+b|=|3a-b|可得解得m=-1. 方法二 ∵|3a+b|=|3a-b|， ∴(3a+b)2=(3a-b)2， 即9a2+6a·b+b2=9a2-6a·b+b2， ∴12a·b=0，即a·b=0， ∴2×3+6m=0，m=-1. 因为向量a=(2，4)，b=(1，n)，且a∥b， 所以2n=1×4，解得n=2， 所以3a-nb=3(2，4)-2(1，2)=(4，8)， 所以|3a-nb|=. (2)已知向量a=(2，4)，b=(1，n)，若a∥b，则|3a-nb|等于 A.4 B.12 C.8 D. √ 反 思 感 悟 a·a=a2=|a|2或|a|=此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 求向量a=(x，y)的模的常见方法 已知向量a=(2，1)，a·b=10，|a+b|=5则|b|等于 A. B. C.5 D.25 跟踪训练 2 √ ∵a=(2，1)，∴a2=5， 又|a+b|=5∴(a+b)2=50， 即a2+2a·b+b2=50， ∴5+2×10+b2=50，∴b2=25，∴|b|=5. 三 向量的夹角、垂直问题 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2， cos θ=(|a||b|≠0). 特别地，a⊥b . x1x2+y1y2=0 (1)a∥b x1y2-x2y1=0. (2)当x1x2+y1y2<0 ... ...
