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课件网) 4.1.2 第四章 <<< 全概率公式 1.结合古典概型，理解并掌握全概率公式. 2.会利用全概率公式解决简单的实际问题. 学习目标 王先生从家到公司有两条路可以选择，其中第一条路拥堵的概率是0.3，第二条路拥堵的概率是0.4，王先生选择第一条路的概率是0.7，选择第二条路的概率是0.3，假设遇到拥堵会迟到，那么王先生上班迟到的概率是多少？这个概率怎么计算呢？ 导 语 一、全概率公式的概念 二、全概率公式的简单应用 课时对点练 三、定理1的应用 随堂演练 内容索引 全概率公式的概念 一 有三个箱子，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，求取得红球的概率. 问题 提示 设事件Bi表示“球取自i号箱”(i=1， 2，3)，事件A表示“取得红球”，其中B1， B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2， B3之一同时发生，即A=B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥，运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)，再对求和中的每一项运用乘法公式得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)·P(A|B3)=×+×+×=. 因此，取得红球的概率为. 一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B=BΩ=B(A+)=BA+B，如图所示，从而P(B)=P(BA+B)=P(BA)+P(B)= P(A)P(B|A)+P()P(B|)(P(A)>0，P()>0)，即：P(B)=_____ 称为全概率公式. P(A)P(B|A)+ P()P(B|) 全概率公式实质上是互斥事件的概率加法公式，解题时需要把题中随机事件合理拆分. 注 意 点 <<< 分别在下列各条件下，求P(B)，P(A|B). (1)P(A)=0.5，P(B|A)=0.25，P(B|)=0.3； 例 1 P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =0.5×0.25+(1-0.5)×0.3 =0.125+0.15=0.275. 又∵P(BA)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)， ∴0.5×0.25=P(B)·P(A|B)， ∴0.125=0.275·P(A|B)， ∴P(A|B)==. (2)P()=0.6，P(B|A)=0.2，P(B|)=0.4. P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =(1-0.6)×0.2+0.6×0.4=0.08+0.24=0.32. 又∵P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)， ∴(1-0.6)×0.2=0.32×P(A|B)， ∴P(A|B)==. (1)公式中BA与B是互斥的. (2)熟记公式P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|). 反 思 感 悟 (1)已知P(A)=，P(B|A)=，P(|)=，则P(B|)= ， P(B)= . 跟踪训练 1 因为P(A)=，所以P()=1-P(A)=1-=. 因为P(|)=，所以P(B|)=1-P(|)=1-=， 所以由全概率公式可得P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×=. (2)若P(BA)=0.35，P(B)=0.1，则P(B)= . 0.45 P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=P(BA)+P(B)=0.35+0.1=0.45. 二 全概率公式的简单应用 (课本例3)某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 例 2 如果用A与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生.则根据已知，有P(A)==，P()=1-=， 而且P(B|A)=，P(B|)=. 由全概率公式可知 P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =×+×=. 设某工厂有两个车间生产同型号的家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率. 例 2 设B=“从仓库中随机提出的一台是合格品”， Ai=“提出的一台是第i车间生产的”，i=1，2， 则B=A1B∪A2B，由题意得P(A1)==0.4，P(A2)==0.6， P(B|A1)=0.85，P(B|A2)=0.88， 由全概率公式得 P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2) =0.4×0.85+0.6×0.88=0.868. 反 思 感 悟 (1)拆分：将样本空间 ... ...
