六 三角函数的应用 利用三角函数测高 【A层 基础夯实】 知识点1 与方向角有关的问题 1.(2024·合肥期末)如图一巡逻艇在A处,发现一走私船在A处的南偏东60°方向上距离A处12 海里的B处,并以每小时20 海里的速度沿南偏西30°方向行驶,若巡逻艇以每小时25 海里的速度追赶走私船,则追上走私船所需时间是(C) A.0.5小时 B.0.75小时 C.0.8小时 D.1.25小时 2.如图,岛P位于岛Q的正西方,P,Q两岛间的距离为20(1+)海里,由岛P,Q分别测得船R位于南偏东60°和南偏西45°方向上,则船R到岛P的距离为(A) A.40 海里 B.40 海里 C.40 海里 D.40 海里 3.如图,点P为观测站,一艘巡航船位于观测站P南偏西37°方向的A处,一艘渔船在观测站P南偏东45°方向的B处,此时渔船在巡航船的正东方向,巡航船与观测站P的距离为45 海里.现渔船发生紧急情况无法移动,巡航船以25 海里/时的速度前去救助,需要的时间约为 2.5 小时.(结果精确到0.1 小时.参考数据: sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈) 4.如图,一艘执法船以40 km/h的速度向正东方向航行,在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上,继续航行30 min到达B处,这时测得灯塔C在北偏东方向30°上,已知在灯塔C的四周20 km内有暗礁,问这艘执法船继续向东航行是否有触礁的危险 【解析】这艘执法船继续向东航行有触礁的危险. 理由:过点C作CD⊥AB,垂足为D, 由题意得:AB=40×=20(km),∠CAB=90°-60°=30°,∠CBD=90°-30°=60°, ∵∠CBD是△ABC的一个外角, ∴∠ACB=∠CBD-∠CAB=30°, ∴∠CAB=∠ACB=30°, ∴BA=BC=20 km,在Rt△CBD中,CD=BC·sin 60°=20×=10(km), ∵10 km<20 km, ∴这艘执法船继续向东航行有触礁的危险. 知识点2 测量物体的高度 5.如图,小王在高台上的点A处测得塔底点C的俯角为α,塔顶点D的仰角为β,已知塔的水平距离AB=a,则此时塔高CD为(B) A.asin α+asin β B.atan α+atan β C. D. 6.全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外.如图,张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48',测得塑像顶部A处的仰角为45°,点D在观测点C正下方城墙底的地面上,若CD=10 米,则此塑像的高AB约为 58 米(参考数据:tan 78°12'≈4.8). 7.(2023·仙桃中考)综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD的中点A处竖直上升30 米到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚美楼顶部F的俯角为30°,已知博雅楼高度CE为15 米,则尚美楼高度DF为 (30-5) 米.(结果保留根号) 8.(2023·丽水中考)如图,某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率,需在气体净化设备上增加一条管道A-D-C,已知DC⊥BC,AB⊥BC,∠A=60°,AB= 11 m,CD=4 m,求管道A-D-C的总长. 【解析】如图,过点D作DE⊥AB于点E, 则∠AED=90°,四边形BCDE是矩形, ∴BE=CD=4 m,∴AE=AB-BE=11-4=7(m), ∵∠A=60°,∴cos A==cos 60°=, ∴AD=2AE=2×7=14(m),∴AD+CD=14+4=18(m), 即管道A-D-C的总长为18 m. 【B层 能力进阶】 9.如图,某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度,在河的南岸点A处,测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向然后向西走80米到达C点,测得点B在点C的北偏东60°方向,则这段河的宽度为(B) A.80(+1)米 B.40(+1)米 C.(120-40)米 D.40(-1)米 10.(2024·大同模拟)如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图,已知手柄AD⊥滚轮连杆AB,且AD=20 cm,AB=160 cm,连杆AB与底坐BC的夹角为60°,则该椭圆机的机身高度(点D到地面的距离)为(D) A.80 cm B.80 cm C.cm D.cm 11.如图,数学兴趣小组想利用竹竿来测量旗杆AB的高度,在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米,在同时刻测量旗杆的影长时,旗杆的影子一部分落在地面上(BC),另一部分落在斜坡上(CD),他测得落在地面上的影长为10米,落在斜坡上的影长为4米,已知斜坡CD的坡度为 ... ...
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