四川省绵阳市2016届高三第三次诊断性考试数学（理）试题（扫描版）

绵阳市高2013级第三次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． AADCD CBBAD 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．2 12．-540 13．11.5 14．-≤m≤ 15．①② 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解 ：（I）第四组的人数为[1-(0.004+0.008+0.016+0.04)×10]×50=16， 中位数为40+[0.5-(0.004+0.016)×10]÷0.04=47.5．………………………4分 （II）据题意，第一组有0.004×10×50=2人，第五组有0.008×10×50=4人， 于是ξ=0，1，2， ∴ P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=， ∴ ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P ……………………………………………………………………10分 ∴ Eξ=0×+1×+2×=1． ………………………………………………12分 17．解：（I）在△ABC中，由正弦定理有，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 代入b=acosC+csinA中，即得2RsinB=2RsinAcosC+2RsinCsinA， ∴ sinB=sinAcosC+sinCsinA．…………………………………………………3分 ∵ sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)， ∴ sin(A+C)=sinAcosC+sinCsinA， 即sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA， 整理得，cosAsinC=sinCsinA， 由sinC≠0，可得cosA=sinA， ∴ A=． ………………………………………………………………………5分 （II）在△ABC中，sinB=， 由即，解得AC=，………………………………7分 又∵ cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB =-+=， ∴ AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=32+25-2××5×=49， ∴ AB=7， ……………………………………………………………………10分 于是由可得BD=1， ∴ CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cosB=1+25-2×1×5×=20， ∴ CD=．…………………………………………………………………12分 18．解：（I）当n=1时，a1=S1=，整理得(a1-1)2=0，解得a1=1． 当n≥2时，an=Sn-=， 整理得，即， ∵ an>0，∴ >0， ∴ ， ∴ {an}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴ an=1+2(n-1)=2n-1． ………………………………………………………5分 （II）， ∴ Tn=++…+ = = =， …………………………………………………………………8分 由题知≤λ(2n+1)对n∈N*恒成立， 即 λ≥对n∈N*恒成立， …………………………………………9分 令bn=，则， ∵ 对n∈N*，2n+1≥3， ∴ -(2n+1)2+2<0，即，于是， ∴ {bn}是单调递减数列， ……………………………………………………11分 即数列{bn}的最大值为b1=， ∴ λ≥，即λ的最小值为．………………………………………………12分 19．（I）证明：由题意，AD//EF， ∵ EF面BEF，AD面BEF， ∴ AD//面BEF． ………………………………………………………………2分 又∵ AD面ABCD，面ABCD∩面BEF=l， ∴ AD//l， ………………………………………………………………………3分 由主视图可知，AD⊥CD，由侧视图可知，DE⊥AD， ∵ CD∩AD=D， ∴ AD⊥面CDE． ∴ l⊥面CDE．……………………………………………6分 （II）如图，建立空间直角坐标系D-xyz， 则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，E(0，0，1)，F(1，0，1)， ∴ =(1，0，0)，=(0，-1，1)，……7分 设面BEF的一个法向量n=(x，y，z)， 则由·n=0，·n=0可得 令y=1，则z=1， ∴ n=(0，1，1)， …………………………9分 设M(0，0，m)，则=(0，2，-m)， ∴ cos<，n>=， 解得m=或m=6（舍）， 即存在满足点M，此时M的位置在线段DE的处（靠近E点）．……12分 20．解：（I）设焦点F(c，0)，则，从而a2=2c2， 由题意有，即，解得b2=2， 又由a2=b2+c2，于是2c2=2+c2，解得c2=2，a2=4， ∴ 椭圆E的方程为． ………………………………………………4分 （II）依题意可知BC⊥AC，且∠BCO=∠AC ... ...