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课件网) 1.5 数学归纳法 北师大版(2019)选择性必修二 1.了解数学归纳法的原理. 2.掌握利用数学归纳法证明问题的一般方法与步骤. 3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 早在春秋战国时期，军事指挥官们就发明了设置烽火台用以报警的方法，假定在西边第一个烽火台发现了了敌情，要使由西到东每一处都知道就需要发布两道命令： 1.第一个烽火台必须首先点火. 2. 看到第一个点后，第二个必须立即点火，当看到第二个烽火台点着，第三个必须立即火，……不论哪一个点了火，它后面的那个就要立即点火. 如果把烽火台编号为1，2，3……，类比烽火台传递军情的过程，你能用数学语言表述上面两个命令吗？ 1.第一个烽火台必须首先点火； 2.不论哪一个点了火，它后面的那个就要立即点火。 当n= 1时，（点着）猜想成立 假设当n= k 时，猜想成立 则当n= k+1 时，猜想也成立 那么n 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是： (1)证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立. 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立. 两个步骤 一个结论 缺一不可 问题1：甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下： 证明：假设n= k 时等式成立，即 当n= k+1 时 即n= k+1时等式成立。 所以等式对一切自然数 均成立. 上述证法是正确的吗？为什么？ 是错误的，事实上命题本身就是错误的， 当n=1时，左边=1，右边=0，左边与右边不等. 问题2：乙同学用数学归纳法证明，如采用下面证法，对吗？为什么？ 证明：（1）当n=1时，左边=1=右边 （2）假设当n=时，等式成立， 即 则当n= 时，= = 即n= 时，命题成立 根据①②可知,对n ,等式成立. 上述证明没有用到n= k 命题成立这一假设 正解：+=+= 问题3：讨论与 的大小 猜想： 用数学归纳法证明，第一个取值为5. n 满足什么条件时， 恒成立？ 结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无. 结论3：在第一步中的初始值不一定从1取起, 证明应根据具体情况而定. 结论2：在第二步中证明n=k+1命题成立时,必须用到n= k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. 例1 (1)用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A.1 B.1＋3 C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4 C (2)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝ ，则n＝k＋1时，在n ＝k时的左端应加上_____. 解析：n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2， n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 所以在n＝k时的左端应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. (k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 例2 用数学归纳法证明：如果{}是一个公差为的等差数列，那么，= ①对任何都成立. 证明：（1）当时，左边，右边= ,①式成立. （2）假设当()时， ①式成立，即= 根据等差数列的定义，有 于是 ， 即当时， ①式也成立. 由（1）（2）可知， ①式对任何都成立. 例3 在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝. (1)求a1，a2，a3. (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想． 解：(1)S1＝a1＝得＝1. 因为an>0，所以a1＝1， 由S2＝a1＋a2＝得＋2a2－1＝0，所以a2＝－1. 又由S3＝a1＋a2＋a3＝得. (2)猜想an＝(n∈N*) 证明：①当n＝1时，a1＝1＝猜想成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立即ak＝， 则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝， 即ak＋1＝＝， 所以 (n∈N*)． “归纳—猜想—证明”的解题步骤 ... ...
