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课件网) 3.1.3 课时2 组合数的应用 第三章 排列、组合与二项式定理 1.能够运用排列、组合知识解决相关问题. 一、有限制条件的组合问题 例1 高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动． (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ (3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？ 常见的限制条件及解题方法 (1)特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据． (2)含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解． (3)分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解． 方法归纳 二、不同元素的分组、分配问题 例2 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法 (1)分成3份，1份1本，1份2本，1份3本; (2)甲、乙、丙3人中，1人得1本，1人得2本，1人得3本; (3)平均分成3份，每份2本; (4)平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本; (5)分成3份，1份4本，另外2份每份1本; 无序不均匀分组问题 有序不均匀分组问题 无序均匀分组问题 有序均匀分组问题 无序部分均匀分组问题 解：(1)首先选1本，有 种方法，然后从余下的5本中选2本，有种方法，最后余下3本全选，有种方法， 故共有 (种)分配方法. (2)因为甲、乙、丙是不同的3人，所以在第(1)问的基础上再分配给3人， 故共有 (种)分配方法. (3)先分三步，则应有 种方法， 但出现了三个位置上的重复，故共有 (种)分配方法. (4)第(3)问的基础上再分配给3人，故共有 (种)分配方法. (5)先分三步，则应有 种方法， 但出现了两个位置上的重复，故共有 (种)分配方法. (6)甲、乙、丙3人中，1人得4本，另外2人每人得1本; (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本; (8)甲、乙、丙3人中，每人至少得1本. (6)第 (5)问的基础上再分配给3人，故共有 (种)分配方法. (7)甲选1本，有种方法，乙从余下的5本中选1本，有 种方法， 最后余下4本留给丙，有种方法， 故共有 (种)分配方法. (8)每人至少得1本，可以有，， 三种情况， 即中的三种情况，故共有 (种)分配方法. 有序部分均匀分组问题 直接分配问题 1.分配问题有两类，一是将物直接分配给人，即直接分配问题；二是先分组再将组分配给人，即间接分配. (1)直接分配问题主要是明确分配的数量，即具体到具体人的数量，例如甲得2本书，乙得3本书，此类问题主要是应用组合知识进行直接求解. (2)间接分配问题一般是未明确分配的数量，即不知道具体分配的数量，例如甲、乙、丙其中1人得一本书，1人得2本书，1人得3本书，此类问题一般是先分组再将组全排列分配给人. 方法归纳 2.分组问题分为平均分、部分平均分、均未平均分三类题型. 平均分就是明确数量问题，直接应用组合即可解决； 部分平均分若有个组平均分，则需除以 !； 若均未平均分，则不需要除以任何数值，即为组合数即可. 方法归纳 三、相同元素的分组、分配问题 例3 将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中. (1)若每个盒子至少有一个球，则一共有多少种放法？ (2)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？ 解：(1)把20个球摆好，在中间的19个空隙中选择4个放入隔板， 所以共有 (种)放法. (2)先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球， 再保证余下的10个球每个盒子至少放1个，把10个球摆好， 在中间9个空隙中选择4个放入隔板，所以共有 （种）放法. 隔板法 方法归纳 应用 ... ...
