七宝中学2024学年第一学期高二年级数学期末 2025.1 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．椭圆的右焦点坐标为 . 2．已知球的体积为，则球的表面积为 . 3．若一个圆柱侧面积为，高为2，则这个圆柱的体积为 . 4．若平面与平面都相交，则这三个平面的交线有 条. 5．在三棱锥中，，则点在平面上的投影点是的 心． 6．如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 . （第6题） （第7题） （第8题） 7．如图，底面半径为4的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了2周，则圆锥的表面积为 . 8．如图，在四棱台中，底面是菱形，棱平面，，则点到平面的距离为 . 9．球是棱长为1的正方体的外接球，则球的内接正四面体体积为 . 10．已知空间向量满足：，则的最小值为 . 11．已知分别是双曲线渐近线上的两点，且轴，点是坐标原点．现将所在平面沿轴折成平面角为锐角的二面角，翻折后如图，此时．若，则的离心率为 . 12．如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中分别在棱上．若是正方形，则截面的面积为 . 二、选择题（本大题共有4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分） 13．已知是空间中两个不重合的平面，是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则＂＂是＂＂的（ ）. A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．如图，正方体中，分别为线段的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（ ）. A．点 B．点 C．点 D．点 16．已知抛物线，点为抛物线的焦点，点在抛物线上，点为点关于原点的对称点，且，若，则（1）点在一条定直线上：（2）是定值（ ）. A．（1）正确，（2）不正确 B．（1）不正确，（2）正确 C．（1）正确，（2）正确 D．（1）不正确，（2）也不正确 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）. 17．（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分） 已知圆的圆心在轴上，且与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程． 18．（本题满分14分，第一小题满分8分，第二小题满分6分） 如图，在四棱锥中，平面为的中点，，. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19．（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分） 水平通常指的是与水平面平行的状态.一个保持水平的桌面能够确保使用的舒适性和稳定性，从而提高工作效率和精度.我们可以使用水平仪检测桌面是否水平，水平仪可以被用于检测某一条直线是否处于水平状态. （1）请设计一个利用水平仪来检测桌面是否处于水平状态的方案，并借助数学知识来说明其测量原理： （2）现有一张边长为1米的正方形四脚木桌（四条桌腿的长度均为1米），被放置在倾斜的地面上．通过测量发现，此时桌面的两条对角线分别呈现出和的倾斜角度．为了将这张桌子平稳地放置在地面上并使桌面保持水平，我们需要通过锯短桌腿来进行调整，请提供一个最省力的方案．（答案精确到0.01米） 20．（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分8分） 如图，在平行六面体中，，．点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足． （1）若三点共线，求的值； （2）若对角线，求的最大值； （3）若，直线和的所成角为，求的取值范围． 21．（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分8分） 已知椭圆，点，点是椭圆上的三个动点． （1）若，求的值； （2）已知 ... ...
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