8.5 一元二次方程的根与系数的关系（学案含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 第八章 一元二次方程 5 一元二次方程的根与系数的关系 列清单·划重点 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 的两根分别为x 和 x ，则方程的根与系数间的关系是 .此关系也称韦达定理. 注意 一元二次方程 的根与系数的关系成立的前提条件：判别式 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的知识拓展 有关根与系数的关系的三个重要推论： 1.以x ，x 为实数根的一元二次方程(二次项系数为1)的表达式是 x+ =0. 2.如果方程的两个实数根是x ,x ,那么 3.与两根有关的几个代数式的变形： ①两根倒数和： ②两根平方和： ③两根差的平方： ④两根平方的倒数的和： 明考点·识方法 考点1 不解方程，求方程的两根之和与两根之积 典例1 利用根与系数的关系，求下列方程两根的和与两根的积： 思路导析 先整理成一般形式确定a，b，c，再利用 和 求两根之和与两根之积. 变式 若是一元二次方程 6=0的两个根，则 . 考点2 利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值 典例2 设x ,x 是方程 的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： 思路导析 根据一元二次方程根与系数的关系， 可以求得方程两根的和与两根的积，把要求的各式子都整理成两根的和与两根的积的形式，再把两根的和与两根的积的值代入即可求解. 变式1 已知x ,x 是方程 的两个实数根，则代数式 的值为 . 变式2 已知实数a,b满足 则 的值为 . 考点3 利用一元二次方程根与系数的关系求方程的根及参数 典例3 已知关于x的一元二次方程.若该方程有一根为1，求m 的值和该方程的另一个根. 思路导析 设一元二次方程 另一个根为α，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，即可解得答案. 变式 已知关于x的一元二次方程. (1)求证：无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为x ，x ，且 求m的值. 当堂测·夯基础 1.一元二次方程 1=0的两根为x ,x ,则 的值为( ) A. B. -3 C. 3 2.已知关于x的方程 的两实数根为x ，x ，若 则m的值为 ( ) A. -3 B. -1 C. -3或1 D. -1或3 3.已知方程 的一个根为-2，则方程的另一个根为 . 4.若一元二次方程 4x-1=0的两根为m,n,则 n 的值为 . 参考答案 【列清单·划重点】 知识点 知识点2 2. 【明考点·识方法】 典例1 解： ∴方程有两个相等的实数根. 整理，得 ∵a=2,b=3,c=0, ∴方程有两个不相等的实数根. 变式 5 6 典例2 解：由题意，得 (1)原式 (-2)+1=-2.5; (2) 原式 (3) 原式 变式1 4049 变式2 或2 典例3 解:把x=1代入原方程得.∴原方程就是 设方程的另一个根为α，由根与系数的关系得1+α=4，∴α=3, 答：m的值是2，该方程的另一个根为3. 变式 解:(1)证明: 这里a=1,b=-(m+2),c=m-1, ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)设方程x -(m+2)x+m-1=0的两个实数根为x ,x , 则 即 整理，得 ∴,解得 ∴m的值为-2或1. 【当堂测·夯基础】 1. C 2. A 3. 4 4. 6 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ...