6.5.1 直线与平面垂直 学案 (原卷版+解析版)

§5　垂直关系 5.1　直线与平面垂直 学习目标 1.理解并掌握直线与平面垂直的定义、性质定理、判定定理,并能用来解决实际问题,培养直观想象与逻辑推理的核心素养. 2.会求点到直线的距离,提升数学抽象、逻辑推理与数学运算的核心素养. 3.理解并掌握直线与平面的夹角的概念,会求直线与平面的夹角,增强数学抽象、逻辑推理与数学运算的核心素养. 知识探究 知识点1　直线与平面垂直 (1)定义. 定义 如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直,那么称直线l与平面α垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l称为平面α的垂线,平面α称为直线l的垂面,它们唯一的公共点P称为垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 (2)点到平面的距离. 点到平面的距离 从平面外一点作一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离 直线到平面的距离 如果一条直线与平面平行,那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离 [思考1] 直线与平面垂直定义中的关键词“任何一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线” 提示:定义中的“任何一条直线”与“所有直线”是等价的,但是不可以换成“无数条直线”,因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直,该直线与这个平面不一定垂直. 知识点2　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直 线线平行; ②作平行线 [思考2] 过平面外一点可以作几条直线与已知平面垂直 提示:过平面外一点只能作一条直线与已知平面垂直. [思考3] 两条异面直线能垂直于同一平面吗 提示:不能. [思考4] 直线与平面垂直时,直线与平面内的直线有什么位置关系 提示:垂直. [思考5] 平面外的任意一条直线都与平面有距离吗 提示:只有直线与平面平行时直线与平面才有距离. 知识点3　直线与平面的夹角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,图中直线PA 斜足 斜线与平面的交点(图中点A) 斜线在 平面上 的投影 过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线,过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影 斜线与 平面的 夹角 定义:平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角. 规定:一条直线垂直于平面,我们说它们的夹角是直角;一条直线与平面平行,或在平面内,就说它们的夹角是0° 取值 范围 [0°,90°] [做一做] 矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD的夹角是　　　　. 知识点4　直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直 符号语言 a α,b α,l⊥a,l⊥b,a∩b=P l⊥α 图形语言 [思考6] 直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”能去掉“相交”吗 提示:不能. 探究点一　直线与平面垂直的性质 [例1] 如图,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=2CD,F是BE的中点,求证:DF∥平面ABC. 涉及线面平行或线线平行的问题中,若已知条件中含直线与平面垂直,常利用直线与平面垂直的性质求解. [针对训练] 如图所示,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过D作平面ABC的垂线DE,其中D PC,求证:DE∥平面PAC. 探究点二　直线与平面垂直的判定 [例2] 如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC= 90°,AE⊥PB于点E,AF⊥PC于点F.求证: (1)BC⊥平面PAB; (2)AE⊥平面PBC; (3)PC⊥平面AEF. (1)线线垂直证明线面垂直 ①定义法(不常用,但由线面垂直可得出线线垂直). ②判定定理:寻找平面内两条相交直线(有时作辅助线);结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直,也与另一条垂直等结论来论证线线垂直. (2)平行转化法(利用推论) ①a∥b,a⊥α b⊥α;②α∥β,a⊥α a ... ...