第六章 导数及其应用（A卷基础夯实） 【满分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知函数，则( ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 2.一质点的运动方程为，若该质点在时间段上的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是( ) A. B.3 C.6 D. 3.已知函数，曲线在点处的切线方程为，则( ) A.-4 B.-2 C.2 D.4 4.已知函数与的图象如图所示，则函数的单调递减区间为( ) A.和 B. C. D.和 5.若函数，且恒成立，则实数a的最大值为( ) A.3 B.4 C. D. 6.已知函数在处有极值0，则( ) A.27或54 B.27 C.54 D.27或58 7.长征五号B运载火箭是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭.长征五号B运载火箭的整流罩外形是冯·卡门曲线外形，可以更好地减小空气阻力，减轻载荷所受影响.某学校航天兴趣小组制作的整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱的高之比为，则该模型体积的最大值为( ) A. B. C. D. 8.已知，定义运算@：，其中是函数的导数.若，设实数，若对任意，恒成立，则a的最小值为( ) A. B. C.e D.2e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以是( ) A. B. C. D. 10.已知函数，则( ) A.有两个极值点 B.在上单调递减 C.关于x的方程有唯一实数根 D.有两个零点 11.设函数，则( ) A.当时，有三个零点 B.当时，是的极大值点 C.存在a，b，使得为曲线的对称轴 D.存在a，使得点为曲线的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_____. 13.已知，，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是_____. 14.若对任意，都有（其中e为自然对数的底数）恒成立，则实数a的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知函数，，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若直线是曲线的切线，求证：对任意的，都有. 16.（15分）已知函数，当时，有极大值. （1）求实数a，b的值； （2）当时，证明：. 17.（15分）已知函数，. （1）判断的单调性； （2）当时，恒成立，求a的取值范围. 18.（17分）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间，各恰有一个零点，求a的取值范围. 19.（17分）已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程. （2）讨论的单调性. （3）当时，证明：. 答案以及解析 1.答案：B 解析：，，，解得.故选B. 2.答案：D 解析：由题意得，当无限趋近于0时，无限趋近于，故该质点在时的瞬时速度为. 3.答案：B 解析：由题得，所以，解得，所以，可得，所以切点为，将的坐标代入切线方程得，所以.故选B. 4.答案：D 解析：，令，即，由题图可得，故函数的单调递减区间为和，故选D. 5.答案：C 解析：由题得.令，则.令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以实数a的最大值为. 6.答案：C 解析：因为函数在处有极值0，所以，且.因为，所以解得或当时，，所以函数在处无极值，故舍去.当时，满足题意，所以，所以.故选C. 7.答案：C 解析：设圆锥的高为，则圆柱的高为3h，底面圆半径为，则该模型的体积.令，则，由，得，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减.所以当时，取到最大值，模型的体积V取到最大值，故选C. 8.答案：B 解析：因为 所以，即， 所以，即对任意，恒成立. 设， 因为， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时，， 所以当时，单调递增. 因为对任意，恒成立， 所以对任意，恒成立. 所以对 ... ...
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