第六章 导数及其应用（B卷能力提升） 【满分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.曲线在点处的切线也为的切线，则( ) A.0 B.1 C. D.2 2.已知在区间上有极小值，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.已知是定义在R上的函数，是的导函数，若，且，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 4.已知，，，则( ) A. B. C. D. 5.若函数恰有两个零点，则实数t的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.已知正三棱锥的高为，且各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，则三棱锥体积的最大值是( ) A. B. C. D. 7.定义满足方程的叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是( ) A. B. C. D. 8.已知，若，且对任意恒成立，则k的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.定义在R上的函数，若存在函数（a，b为常数），使得对一切实数x都成立，则称为函数的一个承托函数，下列命题中正确的有( ) A.函数是函数的一个承托函数 B.函数是函数的一个承托函数 C.若函数是函数的一个承托函数，则a的取值范围是 D.值域是R的函数不存在承托函数 10.已知函数，则下列说法正确的是( ) A. B.函数在上的最大值为4 C.若函数在上的最大值为4，则 D.若关于x的方程在上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 11.对于函数，下列说法正确的有( ) A.在处取得极大值 B.有两个不同的零点 C. D.若在上恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知函数满足，且当时，，则曲线在点处的切线的斜率为_____. 13.若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_____. 14.已知函数，若对于任意的，都有，则实数a的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知函数. （1）求函数在上的最大值和最小值； （2）若不等式有解，求实数a的取值范围. 16.（15分）已知函数，为的导数，证明： （1）在区间上存在唯一的极大值点； （2）有且仅有2个零点. 17.（15分）已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若存在正数a，b，且a为函数大于1的零点，b为函数的极值点. （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）证明：. 18.（17分）已知曲线与曲线关于坐标原点O对称. （1）求函数的解析式. （2）设曲线在点处的切线方程为，证明：. （3）当时，，证明：. 19.（17分）已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求a的值； （2）求函数的单调区间； （3）若不等式恒成立，求整数a的最大值. 答案以及解析 1.答案：C 解析：由得，则曲线在点处的切线斜率为1，切线方程为.设直线与曲线相切的切点为，对求导得，于是得解得所以. 2.答案：D 解析：因为，当时，，当或时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为.因为在上有极小值，所以，解得.故选D. 3.答案：D 解析：由，得，设，则，所以函数在R上单调递增，因为，所以，所以不等式等价于，即，所以，解得，所以不等式的解集为. 4.答案：B 解析：因为，，所以设a，b分别是，在时所对应的函数值.设，则，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以，即.同理可证，所以.当时，可得，即，即.又，所以. 5.答案：A 解析：令，即，所以，即关于x的方程有两个不相等的实数根.令，则函数的图象与直线有两个交点，因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.当时，，则，当时，，则，所以，解得，即.故选A. 6.答案：B 解析：如图，设H为底面三角形的中心，PH为三棱锥的高，设为h， 由题意得，，解得，该 ... ...
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