［学习目标］ 1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用倍角公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用. 一、倍角公式 问题 在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令β=α，你能得到什么结论？ 知识梳理 1.倍角公式 (1)sin 2α= .(S2α) (2)cos 2α= = = .(C2α) (3)tan 2α= .(T2α) 2.倍角公式的重要变形———升幂公式 cos 2α=_____-1， cos 2α=1-_____， cos α=_____-1， cos α=1-_____. 3.倍角公式常见变形 sin2α=_____， cos2α=_____， (sin α±cos α)2=_____. 例1 求下列各式的值： (1)sin 15°cos 15°； (2)1-2sin2750°； (3)； (4)cos 20°·cos 40°·cos 80°. 跟踪训练1 求下列各式的值： (1)cos2； (2)cos ； (3). 二、给值求值 例2 (1)若tan α=，则cos2α+2sin 2α等于( ) A. (2)若sin α-cos α=，则sin 2α= . 反思感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径 ①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢； ②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论. (2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2=1±sin 2θ. 跟踪训练2 (1)已知α为第三象限角，cos α=-，则tan 2α= . (2)已知sin的值为 . 三、利用倍角公式化简及证明 例3 (1)求证：=tan 2α. (2)化简：. 跟踪训练3 若= . 四、倍角公式在实际生活中的应用 例4 如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m. (1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？ (2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D的位置，使步行小路的距离最远？ 跟踪训练4 哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB和两个圆弧AC，BC围成，其中一个圆弧的圆心为A，另一个圆弧的圆心为B，圆O与线段AB及两个圆弧均相切，则tan∠AOB的值是( ) A.- B.- C.- D.- 1.知识清单： (1)倍角公式的推导. (2)倍角公式的正用、逆用，利用倍角公式进行化简和证明. (3)倍角公式在实际生活中的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：化简求值时开根号忽略角的范围导致出错. 1.已知cos x=，则cos 2x等于( ) A.- B. C.- D. 2.等于( ) A.- B.- C.1 D.-1 3.设sin 2α=-sin α，α∈，则tan 2α的值是 . 4.= . 答案精析 问题 在S(α+β)，C(α+β)，T(α+β)公式中令β=α， 可得sin 2α=sin(α+α)=sin αcos α+sin αcos α=2sin αcos α. cos 2α=cos(α+α) =cos αcos α-sin αsin α =cos2α-sin2α. tan 2α=tan(α+α) =. 知识梳理 1.(1)2sin αcos α (2)cos2α-sin2α 1-2sin2α 2cos2α-1 (3) 2.2cos2α 2sin2α 2cos2 3. 1±sin 2α 例1 解 (1)原式=. (2)原式=cos(2×750°)=cos 1 500°=cos(4×360°+60°)=cos 60°=. (3)原式= ==2. (4)原式 = = = =. 跟踪训练1 解 (1)原式=cos. (2)原式 = = =. (3)原式= =. 例2 (1)A (2) 跟踪训练2 (1)- (2) 解析 ∵0cos α， ∴ = ==sin α-cos α. 例 ... ...
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