第七章 7.3 复数的三角表示 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

中小学教育资源及组卷应用平台 7.3 复数的三角表示 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册 一、单选题 1． 复数 的三角形式是（　　） A． B． C． D． 2．已知复数和复数，则（　　） A． B． C． D． 3．若 ( 是虚数单位)，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 4．已知为虚数单位，，，则 （　　） A． B． C． D． 5．欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（　　） A． B． C． D． 7．若复数为实数，则正整数的最小值是（　　） A． B． C． D． 8．复数（为虚数单位）的三角形式为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9． 复数 的三角形式是　 　． 10． 设 对应的向量为 将 绕原点按顺时针方向旋转 所得向量对应的复数的虚部为　 　． 11． 复数 的模是　 　． 12．若复数 满足 ，，则 的代数形式是 　 　． 三、多选题 13．已知复数、，则下列结论正确的是（　　） A． B．若，则 C．若，则、中至少有个是 D．若且，则 14．欧拉公式 （本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（　　） A．复数 为纯虚数 B．复数 对应的点位于第二象限 C．复数 的共轭复数为 D．复数 在复平面内对应的点的轨迹是圆 15．关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（　　） A． B．在复平面上对应的点位于第二象限 C． D． 四、解答题 16．已知复数（其中是虚数单位，）. （1）若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 17．已知复数，且为纯虚数. （1）求实数的值； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 18． 把复数 与 对应的向量 ， 分别按逆时针方向旋转 和 后，与向量 重合且模相等，已知 ，求复数 的代数式和它的辐角主值． 答案解析部分 1．A 由题意，， 2．C 3．D 解：由复数的几何意义可知： 表示的点在单位圆上， 而|z 2 2i|表示该单位圆上的点到复数 表示的点 的距离， 由图象可知： 的最小值应为点 到 的距离， 而 ，圆的半径为1， 故 的最小值为 ， 故答案为：D． 4．D ∵ 故答案选D。 5．A 解：令代入可得， 所以表示的复数在复平面内对应的点为， 则， 所以表示的复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故答案为：B. 6．A 解：复数的三角形式为， 因为复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得， 所以向量对应的复数是. 7．B 解：因为，所以， 若 复数为实数 ，即为实数，则n的最小值为2. 8．D 解复数的三角形式为， 因为， 所以， 复数对应的点在第四象限，且， 因此，，结合选项知D正确， 故答案为：D. 9． 由题意，； 故答案为： 。 【分析】利用复数的代数式与三角形式转换，可求出结果。 10． 由题意，所得向量对应的复数为： ， 故虚部为 。 故答案为。 11．3 由题意，以及 ； 可得 ； 故答案为3； 12． 设 ，则 ， ， 则 ， ∴ ，即 ， 解得 。 故答案为： 。 13．A,C,D 设，， 对于A选项，， 所以， ， 因为 ， 则， 所以，，A对； 对于B选项，若、中至少有一个为虚数，则、不能比较大小，B不符合题意； 对于C选项，若，假设、均不为零，则，， 则存在、，使得，， 则， 因为，则、不可能同时为零， ... ...