4.4 幂函数 课标要求 1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式. 2.通过具体实例,结合y=x,y=x2,y=x3, y=x-1,y=的图象,理解它们的变化规律. 【引入】 (链接教材P34)我们已经知道,在关系式N=ab中,当底数a为大于0且不等于1的常数时:如果把b作为自变量、N作为因变量,则N就是b的指数函数;如果把N作为自变量、b作为因变量,则b就是N的对数函数(即b=logaN).那么,当b为常数时,能否将底数a作为自变量、N作为因变量来构造函数关系呢 在关系式N=ab中,以a为自变量、N为因变量构造出来的函数就是本节我们要讨论的幂函数. 一、幂函数的概念 探究1 (链接教材P34)我们以前学过函数y=x,y=x2,y=,这三个函数的解析式有什么共同的特点吗 你能根据指数运算的定义,把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗 【知识梳理】 一般地,函数 称为幂函数,其中α是常数. 例1 (1)在函数y=x-2,y=2x2,y=(x+1)2,y=3x中,幂函数的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)若f(x)=(m2-4m-4)xm是幂函数,则m= . 思维升华 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,需满足:①指数为常数,②底数为自变量,③xα系数为1.形如y=(3x)α,y=2xα,y=xα+5,…形式的函数都不是幂函数.反过来,若一个函数为幂函数,则该函数也必具有这一形式. 训练1 (1)若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)=16,则f(-4)= . (2)已知y=(2a+b)xa+b+(a-2b)是幂函数,则a= ,b= . 二、幂函数的图象和性质 探究2 在同一平面直角坐标系中,你能画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象吗 【知识梳理】 1.五个幂函数的图象 2.五个幂函数的性质 y=x y=x2 y=x3 y= y= 定义域 R R R [0,+∞) 值域 R R 奇偶性 单调性 在R上 是 在[0,+∞)上是 ,在(-∞,0]上是减函数 在R上是 在 上是 在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是 公共点 (1,1) 温馨提示 (1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都通过点(1,1).在第四象限内都没有图象.在第二、三象限内的图象可由函数的奇偶性画出. (2)当α>0时,幂函数的图象都通过点(0,0)和(1,1),在第一象限内,当0<α<1时,曲线上凸;当α>1时,曲线下凸;并且在区间[0,+∞)上单调递增. (3)当α<0时,幂函数的图象都通过点(1,1),在第一象限内,曲线下凸;并且在区间(0,+∞)上单调递减. (4)在x=1右侧,幂函数y=xα的指数α从下向上看大小递增,即“指大图高”. 例2 (1)函数y=的图象是 ( ) (2)如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则相应于C1,C2,C3,C4的n依次为 ( ) A.-2,-,,2 B.2,,-,-2 C.-,-2,2, D.2,,-2,- 思维升华 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂的指数大小,相关结论为: ①在(0,1)上,幂的指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);②在(1,+∞)上,幂的指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂的指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
