1.2.4 二面角 第1课时 二面角及其度量 [学习目标] 1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.2.掌握求二面角的基本方法步骤． 一、二面角的相关概念 问题1 二面角与两个平面所成的角有何区别？ 知识梳理 1.二面角的定义：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面．从一条直线出发的_____所组成的图形称为二面角．如图所示，其中，直线l称为二面角的_____，这两个半平面称为二面角的_____，如图中的α，β. 2．二面角的平面角 在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的_____．二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的_____．特别地，平面角是直角的二面角称为_____． 3．二面角的范围：[0，π]． 4．两个平面所成的角 两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小． 例1 已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则( ) A．∠ADE是二面角A－PC－B的一个平面角 B．∠AED是二面角A－PB－C的一个平面角 C．∠DAE是二面角B－PA－C的一个平面角 D．∠ACB是二面角A－PC－B的一个平面角 反思感悟 构造二面角的平面角，一般在直线上取一点O，然后分别在两个半平面内作直线OA，OB均与该直线垂直，则∠AOB即为二面角的一个平面角． 跟踪训练1 如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( ) A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定 二、几何法求二面角 例2 已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝a，则二面角A－BC－D的大小为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 反思感悟 (1)利用几何法求二面角的过程要体现一作、二证、三计算，即首先作出二面角的平面角，然后证明(或说明)所作角为什么是二面角的平面角，最后再计算出二面角的平面角的大小． (2)作二面角的平面角的方法 ①定义法；②垂线法；③垂面法． 跟踪训练2 若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P－BC－A的大小为_____． 三、二面角与面积之间的联系 问题2 如图，△ABC在平面α上的射影为△A′BC，二面角A－BC－A′的大小为θ，则cos θ，S△ABC，S△A′BC之间有什么样的关系？ 知识梳理 已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S′，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则_____． 例3 已知在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，求二面角B－PA－C的余弦值． 反思感悟 对射影面积公式的理解 (1)来源：三垂线定理． (2)适用范围：当二面角的一个半平面上的封闭图形的面积及它在另一个半平面上的射影的面积已知或者能求出． (3)优势：不需要作出二面角的平面角． 跟踪训练3 四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且PB＝2MA＝2，则平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为_____． 1.知识清单： (1)二面角及其度量． (2)几何法求二面角． (3)二面角与面积之间的联系． 2．方法归纳：数形结合、转化、代入法． 3．常见误区：二面角与两个平面所成的角易混淆． 1．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PBC与平面ABCD所成的角为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 2.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，过AB作平面α交棱CC1，DD1分别于E，F.若平面α与底面ABCD所成的角为30°，则截面ABEF的面积为( ) A. B. C. D. 3.如图所示，点P是二面角α－AB ... ...
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