专题10.2 排列与组合【十一大题型】 【新高考专用】 【题型1 排列数的化简、计算与证明】 3 【题型2 组合数的化简、计算与证明】 4 【题型3 全排列问题】 4 【题型4 元素（位置）有限制的排列问题】 5 【题型5 相邻问题的排列问题】 6 【题型6 不相邻排列问题】 6 【题型7 组合计数问题】 7 【题型8 定序问题】 7 【题型9 分组分配问题】 8 【题型10 涂色问题】 8 【题型11 排列组合综合】 9 1、排列与组合 考点要求 真题统计 考情分析 (1)理解排列、组合的概念 (2)能利用排列组合解决简单的实际问题 2022年新高考全国I卷：第5题，5分 2022年新高考全国Ⅱ卷：第5题，5分 2023年新高考I卷：第13题，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第3题，5分 2023年全国乙卷（理数）：第7题，5分 2023年全国甲卷（理数）：第9题，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第14题，5分 2023年全国甲卷（文数）：第4题，5分 从近几年的高考情况来看，排列组合是高考的热点内容，每年高考都有考查，多以选择题、填空题的形式出现，主要考查排列组合的基本方法，特殊元素、相邻与不相邻问题以及分组分配等内容，难度不大；有时会与两个计数原理、概率等知识结合考查，需要灵活求解. 【知识点1 排列与组合】 1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m（m≤n,n,m∈）个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合 2．排列数与组合数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号表示. (2)组合数 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号表示. 3．排列数、组合数的公式及性质 (1)排列数公式 =n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn. (2)组合数公式 ①连乘表示： ==. 这里，n,m∈，并且mn. ②阶乘表示：=. 规定：=1. (3)组合数的性质 ①性质1：= ②性质2：=+ 【知识点2 排列、组合常见问题的分类与解题策略】 1．排列应用问题的分类与解法 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在 实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的 内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面 元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二 是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. (5)间接法：正面分类太多从反面入手. (6)多排问题直排法：元素分为多排的排列问题，可以看出一排问题，再分段研究. 2．组合问题的分类与解法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足； “不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个 关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 3．分组分配问题 (1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则 分组后除以m!；③完全非均匀分组， ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
