习题课 双曲线的几何性质的综合问题 [学习目标] 1.熟练掌握双曲线的性质.2.掌握双曲线中和三角形有关的问题.3.掌握共渐近线的双曲线方程的设法． 一、双曲线中的焦点三角形 例1 如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，则△F1PF2的面积为_____． 延伸探究 将本例中的条件“|PF1|·|PF2|＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，求△F1PF2的面积． 反思感悟 (1)求双曲线中焦点三角形面积的一般步骤 ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a. ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式． ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值． ④利用公式＝×|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2求得面积． (2)重要结论 双曲线中焦点三角形的面积＝(θ＝∠F1PF2)． 跟踪训练1 已知F1，F2是双曲线x2－y2＝m(m>0)的两个焦点，点P为该双曲线上一点，若PF1⊥PF2，且|PF1|＋|PF2|＝2，则m等于( ) A．1 B. C. D．3 二、双曲线中焦半径的最值 问题 类比求椭圆的焦半径，你能求双曲线的焦半径的取值范围吗？ 例2 (1)已知定点A，B且|AB|＝4，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则|MA|的最小值是( ) A．1＋ B．2 C．3 D.－1(2)已知A(－4,0)，B是圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线－＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为( ) A．9 B．2＋6 C．10 D．12 反思感悟 (1)解决与双曲线有关的最值或范围问题，要灵活利用双曲线的定义进行转化，同时要结合图形中三角形三边的长度关系，寻求取得最值时需满足的条件，从而使问题得以解决． (2)最值问题的两个结论 设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，Q(x0，y0)为平面上一定点，M为双曲线右支上任意一点． ①若定点Q(x0，y0)与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则|MQ|＋|MF2|的最小值是|QF1|－2a，最大值不存在． ②若定点Q(x0，y0)与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则|MQ|＋|MF2|的最小值是|QF2|，最大值不存在． 跟踪训练2 (1)过双曲线x2－＝1的右支上的一点P分别向圆C1：(x＋3)2＋y2＝4和圆C2：(x－3)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为( ) A．8 B．9 C．10 D．11 (2)已知定点A(3,1)，F是双曲线－＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为( ) A. B．5＋4 C．5－4 D.＋4 三、共渐近线的双曲线的设法 例3 (1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程； (2)求渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)的双曲线的标准方程． 反思感悟 (1)与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． (2)渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 跟踪训练3 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与双曲线－＝1有相同的渐近线，且经过点M(，－)． (1)求双曲线C的方程； (2)求双曲线C的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离． 1.知识清单： (1)双曲线焦点三角形的面积． (2)双曲线的焦半径． (3)共渐近线的双曲线的设法． 2．方法归纳：转化法、数形结合法． 3．常见误区：求焦半径时要注意点P与焦点是否在同一侧． 1．点M为双曲线－x2＝1上任意一点，点O是坐标原点，则|OM|的最小值是( ) A．1 B. C．2 D．2 2．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( ) A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160 C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24 3．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( ) A．4 B．8 C．24 D．48 4．已知A(－3,0)，B是圆x2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线－＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值 ... ...
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