1 平均变化率与瞬时变化率（课件+学案+练习，3份打包）北师大版（2019）选择性必修 第二册

[学习目标]　1.了解变化率在实际生活中的需求，探究和体会平均变化率与瞬时变化率的实际意义.2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念. 一、平均变化率 问题1　下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况： x/min 0 10 20 30 40 50 60 y/℃ 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.9 观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？ 知识梳理 平均变化率 定义 对一般的函数y=f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1，x2]的平均变化率=　　　　　　　　 实质 把自变量的变化x2-x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)-f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即= 作用 刻画函数值在区间　　　　　上变化的快慢 例1　已知函数f(x)=2x2+3x-5.当x1=4，且Δx=1时，求函数值的改变量Δy和平均变化率. 反思感悟　求函数平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的改变量Δx=x2-x1. (2)求函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1). (3)求平均变化率=. 跟踪训练1　某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=sin t，t∈.分别求s(t)在区间和上的平均速度. 二、瞬时变化率 问题2　物体的路程s与时间t的关系是s(t)=5t2，试求物体在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度.当Δt趋近于0时，平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 知识梳理 瞬时变化率 对于一般的函数y=f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx=x1-x0，Δy=f(x1)-f(x0)，则该函数的平均变化率为==.如果当　　　　　　时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率.它刻画函数在某一点处变化的快慢. 例2　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示，求物体在t=1 s时的瞬时速度. 延伸探究　 1.若本例中的条件不变，试求物体的初速度. 2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 反思感悟　求函数f(x)在点x=x0处的瞬时变化率的步骤 (1)求Δy=f(x0+Δx)-f(x0)； (2)计算，并化简，直到当Δx=0时有意义为止； (3)将Δx=0代入化简后的即得瞬时变化率. 跟踪训练2　求函数y=f(x)=3x2+x在点x=1处的瞬时变化率. 1.知识清单： (1)平均变化率. (2)瞬时变化率. 2.方法归纳：极限法. 3.常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率理解不到位. 1.在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足 (　　) A.Δx>0 B.Δx<0 C.Δx≠0 D.Δx可为任意实数 2.某质点的运动方程为s(t)=1-t2，则该物体在[1，2]内的平均速度为 (　　) A.2 B.3 C.-2 D.-3 3.若函数y=在[1，a]上的平均变化率为-，则a等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.一质点的运动规律是s=t2+3(s的单位为m，t的单位为s)，则在t=1 s时的瞬时速度估计是　　　　m/s. 答案精析 问题1　每10分钟病人的体温变化不相同，从20分钟到30分钟变化最快，用体温的平均变化率刻画体温变化的快慢. 知识梳理 　[x1，x2] 例1　解　因为f(x)=2x2+3x-5， 所以Δy=f(x1+Δx)-f(x1)=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)-5-(2+3x1-5)=2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx=2(Δx)2+(4x1+3)Δx. 所以当x1=4，Δx=1时，Δy=2×12+(4×4+3)×1=21，则==21. 跟踪训练1　解　物体在区间上的平均速度为 ===. 物体在区间上的平均速度为 ===. 问题2　Δs=5(1+Δt)2-5=10Δt+5(Δt)2，==10+5Δt.当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t=1时的瞬时速度. 知识梳理 Δx趋于0 例2　解　= ==3+Δt， 当Δt趋于0时，趋于3， 即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s. 延伸探究　 1.解　求物体的初速度，即求物体在t=0 s时的瞬时速度，= ==1+Δt， 当Δt趋于0时，趋于1， 即物体的初速度为1 m/s. ... ...