7.1 实际问题中导数的意义（课件+学案+练习，3份打包）北师大版（2019）选择性必修 第二册

7.1　实际问题中导数的意义 [学习目标]　1.了解导数在实际问题中的意义.2.能用导数解释一些实际问题. 一、导数在物理学中的应用 例1　物体作自由落体运动，其方程为s(t)=gt2(其中位移单位：m，时间单位：s，g=9.8 m/s2). (1)计算当t从2 s变到4 s时位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的意义； (2)求s'(2)，并解释它的意义. 反思感悟　在物理学中： (1)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度v关于时间t的导数是加速度. (2)功与功率：通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W关于时间t的导数. (3)线密度：单位长度的物质质量称为线密度，它是质量关于长度的导数. 跟踪训练1　某人拉一车前行，他所做的功(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，其函数关系式为W(t)=t3-2t+1. (1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释其意义； (2)求W'(1)，W'(2)，解释它们的意义. 二、导数在经济活动中的应用 例2　某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)=x2+60x+2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义. 延伸探究　若本例的条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义. 反思感悟　在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决. 跟踪训练2　东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c(单位：元)与生产量x(单位：台)之间的关系式为c(x)=-2x2+7 000x+600. (1)求产量为1 000台的总利润与平均利润； (2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量； (3)求c'(1 000)与c'(1 500)，并说明它们的实际意义. 三、导数在生活中的应用 例3　某年高考，某考生在参加数学学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y=f(x)=2. (1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求f'(64)，f'(100)，并解释它们的实际意义. 反思感悟　解决实际问题的一般步骤 (1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系. (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型. (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解. (4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案. 跟踪训练3　一名工人上班后开始连续工作，生产的产品数量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数表示为y=f(x)=+4. (1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求f'(1)，f'(4)，并解释它的实际意义. 1.知识清单： (1)导数在物理学中的应用. (2)导数在经济活动中的应用. (3)导数在生活中的应用. 2.方法归纳：数学建模. 3.常见误区：忽略实际问题的定义域. 1.某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W=W(t)，则W'(t0)表示(　　) A.t=t0时做的功 B.t=t0时的速度 C.t=t0时的位移 D.t=t0时的功率 2.在一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y=f(t)表示，则f'(10)表示 (　　) A.t=10时的降雨强度 B.t=10时的降雨量 C.t=10时的时间 D.t=10时的温度 3.如果物体做直线运动的方程为s(t)=2(1-t)2，则其在t=4时的瞬时速度为 (　　) A.12 B.-12 C.4 D.-4 4.某汽车的路程函数是s=2t3-gt2(g=10 m/s2)，则当t=2 s时，汽车的加速度是　　　　m/s2. 答案精析 例1　解　(1)当t从2 s变到4 s时， 位移s从s(2)变到s(4)， 此时，位移s关于时间t的平均变化率为 = =9.8×3=29.4(m/s). 它表示物体从2 s到4 s这段时间平均每秒下落29.4 m. (2)∵s'(t)=gt， ∴s'(2) ... ...