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课件网) 8.5 空间直线、平面的平行 8.5.1 直线与直线平行 「学习目标」 1.借助长方体,抽象出空间两条直线的平行关系,培养数学抽象和直观想象的核心素养. 2.通过基本事实4和等角定理的应用,培养直观想象和逻辑推理的核心素养. 知识梳理 自主探究 「知识探究」 1.基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行. 基本事实4的符号表示:a∥b,b∥c . 2.等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 . a∥c 相等或互补 师生互动 合作探究 探究点一 基本事实4的应用 [例1] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点. 求证:四边形MNA1C1是梯形. 证明:如图,连接AC,在△ACD中,因为M,N分别是CD,AD的中点, 所以MN是三角形的中位线.所以MN∥AC, 由正方体的性质得AC∥A1C1,AC=A1C1, 所以MN∥A1C1,且MN≠A1C1. 所以四边形MNA1C1是梯形. 方法总结 证明空间两条直线平行的方法 (1)平面几何法 三角形中位线、平行四边形的性质等. (2)定义法 用定义证明两条直线平行,要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点. (3)利用基本事实4 寻找第三条直线,然后证明这两条直线都与第三条直线平行. [针对训练] 在三棱台A1B1C1-ABC中,G,H分别是AB,AC的中点,则GH与B1C1的关系是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 √ 解析:如图所示, 因为G,H分别是AB,AC的中点,所以GH∥BC,又由三棱台的性质得BC∥B1C1,所以GH∥B1C1.故选C. 探究点二 等角定理的应用 [例2] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD,A1D1的中点. (1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形; 证明:(1)因为ABCD-A1B1C1D1为正方体, 所以AD=A1D1,且AD∥A1D1, 又M,M1分别为棱AD,A1D1的中点, 所以AM=A1M1且AM∥A1M1, 所以四边形AMM1A1为平行四边形, 所以MM1=AA1且MM1∥AA1. 又AA1=BB1且AA1∥BB1,所以MM1=BB1且MM1∥BB1, 所以四边形BB1M1M为平行四边形. (2)求证:∠BMC=∠B1M1C1. 证明:(2)法一 由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形, 所以B1M1∥BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形, 所以C1M1∥CM. 因为∠BMC和∠B1M1C1方向相同, 所以∠BMC=∠B1M1C1. 法二 由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形, 所以B1M1=BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形, 所以C1M1=CM. 又因为B1C1=BC, 所以△BCM≌△B1C1M1, 所以∠BMC=∠B1M1C1. 方法总结 利用空间等角定理证明两角相等的步骤 (1)证明两个角的两边分别对应平行. (2)判定两个角的两边的方向都相同或者都相反. [针对训练] 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为A1C1,AC,AB的中点.求证:∠PNA1=∠BCM. 「当堂检测」 1.若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 解析:若b∥c,由a∥b,知a∥c,这与a,c异面相矛盾,则b与c不可能平行.故选C. √ 2.在空间中,若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1方向相同,则下列结论正确的是( ) A.OB∥O1B1且方向相同 B.OB∥O1B1,方向可能不同 C.OB与O1B1不平行 D.OB与O1B1不一定平行 √ 解析:如图, OB与O1B1不一定平行.故选D. 3.在三棱锥P-ABC中,PB⊥BC,E,D,F分别是AB,PA,AC的中点,则∠DEF等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° √ 解析:如图所示,因为E,D,F分别为AB,PA,AC的中点, 可得DE∥PB,EF∥BC, 又因为PB⊥BC,所以∠PBC=90°, 所以∠DEF=90°.故选D. 谢 谢 观 看 ... ...
