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课件网) 第2课时 平面与平面垂直的性质 8.6.3 平面与平面垂直 「学习目标」 在发现、推导和应用平面与平面垂直的性质定理的过程中,提升数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养. 知识梳理 自主探究 文字语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线 这两个平面的 ,那么这条直线与另一个平面 符号语言 图形语言 作用 ①面面垂直 垂直;②作面的垂线 「知识探究」 平面与平面垂直的性质定理 垂直于 交线 垂直 线面 师生互动 合作探究 探究点一 面面垂直性质的应用 [例1] 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD边的中点.求证: (1)BG⊥平面PAD; 证明:(1)由题意知△PAD为正三角形,G是AD的中点,所以PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面 ABCD=AD,PG 平面PAD, 所以PG⊥平面ABCD. 由BG 平面ABCD,所以PG⊥BG. 又因为四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°, 所以△ABD是正三角形,所以BG⊥AD. 又AD∩PG=G,AD,PG 平面PAD, 所以BG⊥平面PAD. 证明:(2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G,BG,PG 平面PBG, 所以AD⊥平面PBG. 又PB 平面PBG,所以AD⊥PB. (2)AD⊥PB. 方法总结 (1)若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.在应用面面垂直的性质定理时,注意三点:①两个平面垂直,是前提条件;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于它们的交线. (2)先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题. 探究点二 与面面垂直有关的计算 [例2] 如图,在四面体P-ABC中,PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC, ∠ACB=90°,AC=8,BC=6,则PC= . 13 解析:取AB的中点E,连接PE,EC. 因为∠ACB=90°,AC=8,BC=6, 所以AB=10,所以CE=5. 因为PA=PB=13,E是AB的中点, 所以PE⊥AB,AE=5, 所以PE=12. 因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,所以PE⊥平面ABC. 因为CE 平面ABC,所以PE⊥CE, 方法总结 平面与平面垂直的性质定理的主要应用就是过一个平面内一点作另一个平面的垂线,因此涉及已知条件中含平面与平面垂直的计算问题,主要是利用性质定理作出平面的垂线,将问题转化为直角三角形中的计算问题. 6 (2)在四面体A-BCD中,DA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=4,AC=3,AD=1,E为棱BC上一点,且平面ADE⊥平面BCD,则DE= . 解析:(2)如图所示,过点A作AF⊥DE于点F, 因为平面ADE⊥平面BCD,平面ADE∩平面BCD=DE,AF 平面ADE, 所以AF⊥平面BCD,因为BC 平面BCD,所以AF⊥BC. 因为DA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以DA⊥BC, 又AF∩AD=A,AF,AD 平面ADE, 所以BC⊥平面ADE. 探究点三 折叠问题 [例3] 如图(1),在矩形 ABCD中,BC=2AB,AM⊥BD交对角线BD于点O,交BC于点M,现将△ABD沿BD翻折至 △A′BD的位置,如图(2),点N为棱A′D的中点,则下列判断一定成立的是( ) A.BD⊥CN B.A′O⊥平面BCD C.CN∥平面A′OM D.平面A′OM⊥平面BCD √ 解析:对于D选项,翻折前,BD⊥AO,BD⊥OM, 翻折后,BD⊥A′O,BD⊥OM, 因为A′O∩OM=O,A′O,OM 平面A′OM,则 BD⊥平面A′OM, 因为BD 平面BCD,所以平面A′OM⊥平面BCD,故D正确; 对于B选项,因为BD⊥A′O,BD⊥OM, 则二面角A′-BD-M的平面角为∠A′OM, 在翻折的过程中,∠A′OM的大小会发生变化,故A′O与OM不一定垂直, 所以A′O与平面BCD不一定垂直,故B错误; 因为A′O,NE 平面A′BD,且BD⊥A′O, 所以A′O∥NE, 因为N为A′D的中点,则E为OD的中点,与已知矛盾,故A错误; 对于C选项,由选项A的分析知,因为CE∥OM,CE 平面A′OM,OM 平面A′OM, 所 ... ...
