甘肃省兰州市2025届高三下学期诊断考试（一模）数学试题（含答案）

2025年兰州市高三诊断考试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（本题共8 小题，每小题5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.) 1. B 2. A 3.D 4.B 5. C 6.A 7.D 8. A 2 2 8.【解析】设双曲线的方程为 2 2 = 1,因为双曲线 的焦点为 1( 7, 0), 2( 7, 0), 所以 = 7 (1)当过点 2的直线与双曲线 右支交于 , 两点如图1所示. 由 | 2| = 2| 2 |, | | = | 1|,设 | 2| = 2| 2 | = 2 , 则 | | = | 1| = 3 ,由双曲线的定义知 ∴ | 1| | 2| = 3 = 2 = 2 ,所以 = , | 1| = 4 在 1中 | | = | 1| = 3 , | 1| = 4 , cos∠ = (3 ) 2+(3 )2 (4 )2 1 = 1 ,在 图1 2×3 ×3 9 2 1 | 1 |22 = | 2 21 | + | 2 | 2| 1 |·| 2 |cos∠ 1 2 即 28 = 9 2 + 2 2 × 3 2 × 1 ,解得 2 = 3, 2 = 2 2 = 4, 9 2 2 所以双曲线 的方程为 = 1, 2 3双曲线的渐近线方程为 =± . 3 4 3 (2))当过点 2的直线与双曲线 两支交于 , 两点如图 2 所示由 | 2| = 2| 2 |, | | = | 1|,得 | | = | 1| = | 2|,与双曲线定义不 符，故此种情况不成立. 综合(1)(2) 2 3两种情况：双曲线的渐近线方程为 =± ,选A. 3 图2 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分) 9. ABD 10. BC 11. AD 11.【解析】 由于 ∈ (0, + ∞), 1000100000时 00001 1000, 10001 1000 < 1000 + 100, 当 > 100时， 1001 > 1000 + 100,故当 > 100110000时， 0.0001 > 1001, 10001 > 1001 > 1000 + 100, 故必有 100000 ∈ (1000 , 1001 10000),使 10001 = 1000 + 100,因此 正确，B错误. 对于任意正数 > 1,当 > (1001 )10000 > 100时， 10001 > [(1001 )10000]00001· = ·1001 > (1000 + 100), 取 = (1001 )10000,当 ∈ ( , + ∞)时，对于任意大于1的正实数 , ( ) ( )因此 D 正确， 而当 = 2时 = (2002)10000,故C错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 4 2 12. 13. 3 14. 3 3 14.【解析】正方体 1 1 1 1的中心是内切球球心，设为 , 到平面 1 的距离为 , 1 2 3 3 到平面 1 的距离为 1 = × 2 3, = | | 1 = 3 = ,正方体内切球半径 = 1,3 3 3 正方体内切球被平面 1 截球面所得的截面是一个圆半径 为的圆， = 2 2 = 6 , 所以 3 2 圆的面积为 . 3 四、解答题（本大题共 5小题，共 77分，解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)证明： = 2 2 = 2, = 1,因为 ∴ = 1 所以 ∴ // , 平面 1 , 平面 1 , 所以 //平面 1 ……………………, 6} (2)如图所示：以 D为坐标原点，以 DA所在直线为 x轴，以 DC所在直线为 y轴，以 DD1所在直线为 =轴建立 空间直角坐标系. 则三棱锥 1 的体积 = 1 1 5 5 3 △ · 1 = × × = ,解得 3 2 1 2 1 = 3 → → → 则 (3,3,0), (3,3,3), (1,0,0), (0,1,0), 1 = (0,0,3), = (2,3,3), ∴ = ( 1,1,0) → → 设平面 的法向量为 , 2 + 3 + 3 = 0 则 , { + = 0 . ,得 = (3,3, 5) → 设直线 , sin = | · 1| 5 431与平面 1 所成角为 则 → = | |·| 1| 43 5 43 所以直线 1与平面 1 所成角的正弦值 …………….3分43 16.【解析】(1)设事件 ( 可取1，2，3，4)表示第 次抽到春季卡， ( 可取 1，2 3，4)表示第 一次抽到夏季卡，事件 表示抽3次即获奖，则 = 1 2 3, ∴ ( ) = ( 1 2 3) = ( 1) ( 2 ∴ 1) ( 3 ∴ 1 2)，所以 1 1 1 ( ) = 3 × 2 × 1 = 1 11 2 3 1 1 1 × × 1 = 1 , ……………. 5 6 6 6 2 3 6 36 分 (3)设事件 表示获奖，则 ∴ = ( 1 2 3) ∪ ( 1 2 34 ∴ ( 1 23 4) ∪ ( 12 23 ∴ 4), 且 1 2 3, 1 2 3 4, 1 2 3 4, 1 2 3 4为互斥事件， ∴ ( ) = ( ) + ( ∴ ) + ( ) + ( ), (1) ( ) = 11 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 ... ...