2025届麓山国际高三第一次学情检测试卷 高三年级数学试卷 总分：150分 时量：120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则z的虚部为（ ）． A. 3 B. C. i D. 3. 已知向量，则在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（ ） A B. C. D. 6. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段分别于点N，M，且，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，每题全对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 下列说法中，正确的命题有（ ） A. 已知随机变量服从正态分布，则 B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3 C. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 D. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为16 10. 已知函数，若将的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增 11. 如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 平面 C. 的最小值为 D. 当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则_____. 13. 数列的前项和为，若，则_____． 14. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是_____． 四、解答题（共77分） 15. 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 25 女生 35 合计 已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为. （1）请将上述列联表补充完整； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联； （3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为，求随机变量的分布列和期望． 附：. 0.100 0.050 0.010 0001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 如图所示，在三棱锥中，与AC不垂直，平面平面，． （1）证明：； （2）若，点M满足，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知直线与抛物线交于两点，且． （1）求； （2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 19. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列. （1）求数列的通项公式； （2）求最小值； （3）若数列满足，对于，证明：. 2025届麓山国际高三第一次学情检测试卷 高三年级数学答案 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. B 解析：因为，， ... ...
