1.2.3 直线与平面的夹角（课件+学案+练习，共3份）人教B版（2019）选择性必修 第一册

1.2.3　直线与平面的夹角 课标要求　1.了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念. 2.了解三个角θ，θ1，θ2的意义，会利用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求平面的斜线与平面内的直线的夹角. 3.会用向量法求线面角. 1.思考　如何定义直线与平面所成的角？ _____ _____ 2.填空　(1)直线与平面的夹角 平面的斜线和它在平面内的_____所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角. (2)最小角定理 如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A′为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线.记∠AOA′＝θ1，∠A′OM＝θ2，∠AOM＝θ，则θ，θ1，θ2之间的关系为_____. (3)用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则， 如图(1)(2)所示，可以看出θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－，则sin θ＝_____. 温馨提示　①范围：直线与平面α所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.当θ＝0°，AB∥α或AB α；当θ＝90°，AB⊥α. ②斜线与它在平面内的射影所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角. 3.做一做　已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为_____. 题型一　用定义求线面角 例1 在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，连接CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　利用定义法求线面角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法：①斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；②利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影. 训练1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点. 求EB与平面ABCD夹角的余弦值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 题型二　由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求线面角 例2 如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　公式cos θ＝cos θ1·cos θ2在解题时经常用到，可用来求线面角θ1.在应用公式时，一定要分清θ，θ1，θ2分别对应图形中的哪个角. 训练2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.若∠PBC＝60°，求直线PB与平面ABCD所成的角θ. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 题型三　向量法求线面角 例3 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的大小. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线PA的方向向量； (3)求平面的法向量n； (4)设线面角为θ，则sin θ＝. 训练3 如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)证明：AC⊥B1D； (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值是(　　) A. B. C. D. 2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角的大小为_____. 3.如图，已知多面体ABCA1B1C1中，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2. (1)证明：AB1⊥平面A1B1C1； (2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值. 1.2.3　直线与平面的夹角 知识探 ... ...