培优点 焦点三角形 椭圆或双曲线上的点P(x0，y0)与左、右焦点构成的三角形称为焦点三角形，其中∠F1PF2为顶角θ，F1F2为底边. (1)在椭圆中，①焦点三角形的周长是定值，l＝2a＋2c. ②△PF1F2中三边的关系，除定义|PF1|＋|PF2|＝2a外，还有余弦定理：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ. ③|PF1|·|PF2|的最大值为a2(当且仅当x0＝0时取得)，最小值为b2(当且仅当x0＝±a时取得). ④S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取得最大值，最大值为bc. (2)在双曲线中，双曲线上的一点(非实轴端点)与两个焦点构成的三角形为焦点△PF1F2，由余弦定理与定义可得S△PF1F2＝＝c·|y0|. 类型一 椭圆中的焦点三角形与离心率 例1 已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. 求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型二 焦点三角形的面积及综合应用 例2 设P是椭圆＋＝1上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2＝60°， (1)求△F1PF2的面积； (2)求点P的坐标； (3)求·的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型三 双曲线中的焦点三角形 例3 如图所示，已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M为双曲线上一点，并且∠F1MF2＝θ，求△MF1F2的面积. _____ _____ _____ _____ _____ _____ 培优点 焦点三角形 例1 证明 设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 知cos 60°＝＝－1， 所以mn＝b2， 所以S△F1PF2＝mnsin 60°＝b2， 即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 例2 解 (1)由椭圆方程知，a2＝25，b2＝， 所以c2＝，则c＝，2c＝5. 在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋ |PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义，知10＝|PF1|＋|PF2|， 所以100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.② ②－①，得3|PF1|·|PF2|＝75， 所以|PF1|·|PF2|＝25， 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝. (2)设P(x0，y0)，则S△F1PF2＝·|F1F2|·|y0|， 由(1)可得＝×5·|y0|， 于是|y0|＝，所以y0＝±， 将代入椭圆方程，得＋＝1， 解得x＝0，所以x0＝0， 于是点P的坐标为或. (3)由(1)可得F1，F2， 由(2)可知点P的坐标为或， 所以＝， ＝或＝， ＝， 故·＝－＋＝. 例3 解 在△MF1F2中，由余弦定理， 得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|·cos θ.① ∵|F1F2|2＝4c2，|MF1|2＋|MF2|2 ＝(|MF1|－|MF2|)2＋2|MF1|·|MF2| ＝4a2＋2|MF1|·|MF2|， ∴①式化为4c2＝4a2＋2|MF1|·|MF2|(1－cos θ)， ∴|MF1|·|MF2|＝， ∴S△MF1F2＝|MF1|·|MF2|·sin θ＝ ＝＝.(
课件网) 第二章 平面解析几何 培优点 焦点三角形 类型一 椭圆中的焦点三角形与离心率 例1 类型二 焦点三角形的面积及综合应用 例2 类型三 双曲线中的焦点三角形 例3 》 http://gallery.world/wallpaper/149273.htm 护线 局 11 在 y M F O F X ... ...
