海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案 数学（理科） 2016.5 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D B C A C C 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分，共30分） 9． 10． 11. 12． 13． 14． 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．解：（Ⅰ）因为 所以 …………………2分 …………………4分 因为 ,所以 …………………6分 （Ⅱ）因为 …………………9分 令 ， 所以, …………………11分 因为对称轴, 根据二次函数性质知，当 时，函数取得最大值 …………………13分 16解: (I) 型空调前三周的平均销售量 台 …………………2分 （Ⅱ）因为型空调平均周销售量为台， 所以 …………………4分 又 化简得到 …………………5分 因为，所以当或时，取得最小值 所以当 或时，取得最小值 …………………7分 （Ⅲ）依题意，随机变量的可能取值为， …………………8分 , , , …………………11分 随机变量的分布列为 随机变量的期望. …………………13分 17解: （Ⅰ）证明：连结. 在中，因为分别是所在边的中点，所以， …………………1分 又, 所以, …………………2分 所以是平行四边形，所以, …………………3分 又平面，平面, …………………4分 所以平面. …………………5分 （Ⅱ）证明：方法一： 在平面内，过点作的平行线， 因为所以平面, 所以平面，所以. 又在中，因为，所以. 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系 …………………6分 所以 …………………7分 所以， …………………8分 所以，所以. …………………9分 方法二： 取中点，连接. 又为的中位线，所以 又，所以，所以在一个平面中. …………………6分 因为是等边三角形，所以, 又，所以, …………………7分 且， 所以平面， …………………8分 而平面, 所以. …………………9分 （Ⅲ）因为, 所以, 即, 又 , 所以平面， 所以就是平面的法向量. …………………11分 又，设与平面所成的角为， 则有 …………………13分 所以与平面所成的角为. …………………14分 18解: （Ⅰ）函数的定义域为. 当时， …………………2分 当变化时，，的变化情况如下表： 极大值 极小值 …………………4分 函数的单调递增区间为，， 函数的单调递减区间为. …………………5分 （Ⅱ）解：因为在区间上有解， 所以 在区间上的最小值小于等于. 因为, 令,得. …………………6分 当时，即时， 因为对成立，所以在上单调递增， 此时在上的最小值为 所以， 解得，所以此种情形不成立， ………………… 8分 当，即时， 若, 则对成立，所以在上单调递增， 此时在上的最小值为 所以， 解得，所以 . …………………9分 若，则对成立，对 成立. 则在上单调递减，在上单调递增， 此时在上的最小值为 而，所以. …………………11分 综上，的取值范围是 …………………12分 法二：因为在区间上有解， 所以在区间上的最小值小于等于， 当时，显然，而成立， …………………8分 当时,对成立，所以在上单调递增， 此时在上的最小值为， 所以有， 解得，所以. …………………11分 综上，. …………………12分 （Ⅲ）的取值范围是. …………………14分 19解：（Ⅰ）因为，所以 代入，得到， …………………1分 又，所以，所以， …………………2分 代入，得到， …………………3分 所以. …………………5分 （Ⅱ）法一：设直线的方程为. 则 …………………7分 由, 得, 所以 …………………9分 又, …………………11分 又注意到，所以， 所以， …………………12分 因为，所以, 所以. …………………13分 法二：设直线的方程为 . 由, 得 ... ...
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