2024-2025学年河南省信阳市固始县高二（上）期末 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，且，则( ) A. B. C. D. 2.已知椭圆的两焦点为、，过点且存在斜率的直线与椭圆交于、两点，则的周长为( ) A. B. C. D. 3.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为( ) A. B. C. D. 4.已知直线：的倾斜角为，则( ) A. B. C. D. 5.已知在四面体中，，为的中点，若，则( ) A. B. C. D. 6.已知点在直线上，则的最小值为( ) A. B. C. D. 7.年月日哈六中组织百年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责，，，等个任务每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有( ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8.过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共104分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.以下四个命题表述正确的是( ) A. 直线恒过定点 B. 圆上有且仅有个点到直线：的距离都等于 C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点 10.已知曲线：，则下列结论正确的是( ) A. 若，，则是两条直线 B. 若，则是圆，其半径为 C. 若，则是椭圆 D. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 11.在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是( ) A. 当时，点在棱上 B. 当时，点到平面的距离为定值 C. 当时，点在以，的中点为端点的线段上 D. 当时，平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知实数，满足，则的最小值是_____． 13.已知、分别是椭圆：的左，右焦点，为椭圆上的一点，且，则的面积为_____． 14.已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为_____． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 计算：； 若，则的值为_____； 若，求正整数． 16.本小题分 已知直线：与直线：，． 若，求的值； 若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程． 17.本小题分 椭圆：的左、右焦点分别为，，经过右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点． Ⅰ写出椭圆的焦点坐标和离心率； Ⅱ求的面积． 18.本小题分 已知抛物线：的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线相切，且切点为，点为抛物线上的点． 求直线的方程； 若直线不与轴垂直，点在轴上，轴，若直线与抛物线和直线分别交于，两点，求证：． 19.本小题分 如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点． 求证：； 求点到平面的距离； 在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.解：，两直线的斜率都存在， ，且， ． 点在直线上， ，， ， 由题意可知，直线的斜率一定存在且不为，设直线的方程为， 令得，，令得，， 在两坐标轴上的截距之和为， ， 解得或， 直线的方程为或． 17.解：Ⅰ因为椭圆的方程为， 所以，， 则椭圆的焦点坐标为，，离心率； Ⅱ由Ⅰ知，椭圆右焦点的坐标为， 所以直线的方程为， 联立，消去并整理得， 解得或， 当时，解得， 所以， 又到直线的距离． 则的面积． 18.解：根据题意可得焦点到准线的距离， 所以抛物线的方程为， 当斜率存在时，设过点的直线的方程为， 联立，可得， 因为直线与抛物线相切， 所以，解得， 所以直线的方程为； 当直线斜率不存在时，满足过点的直线与 ... ...
