2.1 第2课时 无理数 导学案（含答案） 2024-2025学年湘教版七年级数学下册

第2章 实数 2.1 平方根 第2课时 无理数 学习目标： 1. 理解无理数的概念，能正确地判断一个数是不是无理数.（重点） 2. 能快速地利用计算器求一个无理数的近似值．（难点） 一、情境导入 播放视频“无理数的引用” 观察与思考 将一个长为 4 cm，宽为 2 cm的长方形纸片剪拼成一个正方形. 最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？ 要点探究 探究点一：无理数的认识 活动：把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？ 还有好多方法哦！课余时间再动手试一试，比比谁找的多！ 问题1：设大正方形的边长为 a，则 a 满足什么条件？ 追问1：a 是一个什么样的数？a 可能是整数吗？ 从“数”的角度： 因为 a2 = 2，而 12 = 1，22 = 4， 所以 12 < a2 < 22. 所以 1< a < 2，故 a 不是整数. 追问2：a 可能是分数吗？ ① a 是分母为 2 的分数吗？ ② a 是分母为 3 的分数吗？ ③ a 是分母为 4 的分数吗？ ④ a 是分母为多少的分数？ 归纳：a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数. 思考 (1)分别根据上述结果,估计2的算术平方根 的大致范围; (2)若将 写成一个小数,则它是一个怎样的小数 知识要点： 事实上， = 1.414213562··· ，是一个无限不循环小数，不可写成分数的形式， 从而它不是一个有理数.像这样，若一个数是一个无限不循环小数或可以表示成一个无 限不循环小数，则把这个数叫作无理数. 类似于有理数分类，无理数也分为正无理数和负无理数. 议一议 下面的说法正确吗 如果不正确，请说明理由. (1) 无限小数都是有理数； (2) 无理数都是无限小数； (3) 带根号的数都是无理数； (4) 无理数都是带根号的数. 练一练 1. 把下列各数分别填入相应的集合内： ，0.3737737773…（每两个3之间依次增加一个7） 有理数集合： 无理数集合： 归纳总结 我们常见的无理数的有以下三种形式： (1) 化简后含有 π 的数； (2) 开不尽方的数开方所得结果； (3) 有规律但不循环的数，如1.01001000100001…（相邻两个1之间依次增加一个0） …… 典例精析 例1 设 n 为正整数，且 n ＜ ＜n＋1，则 n 的值为( 　) A．5 B．6 C．7 D．8 练一练：写出一个比－3大的无理数：_____. 探究点二：用计算器求算术平方根 问题：怎么用小数近似地表示一个无理数呢？ 问题：怎么求一个正数的算术平方根或它的近似值呢？ 例2 用计算器求下列各式的值. （1） （2） （精确到小数点后面第三位） 练一练 2 . 用计算器比较下面两数的大小： （1）； （2） 总结： 由于(±)2 = a，则对于任意一个非负数 a，先开平方，然后再平方，最后的结 果仍等于 a. 做一做 2 = a 成立吗？ 若不成立，请举例说明. 二、课堂小结 1.下列各数： ， ， 1， (相邻两个 3 之间 0 的个数逐次加 1)中，无理数的有( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 2. 下列各数中，是无理数的为（ ） A. 3.14 B. C. 0.305305530555… D. 3. 判断题： (1) 有限小数是有理数. ( ) (2) 无限小数都是无理数. ( ) (3) 无理数都是无限小数. ( ) (4) 有理数是有限小数. ( ) 4. 以下各正方形的边长是无理数的是（ ） A.面积为 25 的正方形 B.面积为 的正方形 C.面积为 8 的正方形 D.面积为 1.44 的正方形 5.用计算器求下列各式的值： （1） （ 2 ） 6. 面积为6 cm2的正方形，它的边长是多少？用计算器求边长的近似值（精确到 0.001 cm） . 7. 用计算器分别求 的近似值(精确到0.001). 8. 借助计算器求下列各式的值，你能发现什么规律？ = = = = （n个3，n个4） 利用你发现的规律直接写出结果： = 参考答案 观察与思考 正方形的面积为 8 cm2，由于 22 = 4，32 = 9，又 4＜8＜9，且面积较大的正方形的边长也较大，因此面积为 8 cm2 的正方形的边长不是整数. 探究点一：无理 ... ...