3.1 椭圆 教案（2课时打包）

3.1.1椭圆的标准方程（第一课时） (选择性必修第一册第三章) 一、教学目标 1.根据创设的情景，理解椭圆的定义. 2.理解椭圆标准方程的推导过程，在化简中提高学生的运算能力. 3.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程． 二、教学重难点 1.重点：①理解椭圆的定义及椭圆的标准方程． ②掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程． 2.难点：理解椭圆标准方程的推导过程，领会坐标法的应用. 三、教学过程 1.椭圆的概念生成 1.1生活中的椭圆 问题1:当我们用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面和圆锥侧面的交线）是一个圆.如果改变圆锥的轴和截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢？ 如果，用一个不垂直于圆锥的轴平面截圆锥，当截面与轴所成角度不同时，得到的截口曲线也不同。它们分别是椭圆，双曲线，抛物线，统称为圆锥曲线。椭圆是圆锥曲线的一种，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用.在生活中，哪些地方有椭圆的身影呢？ 【预设答案】椭圆形桌子，盘子，火腿肠的斜切面 【设计意图】先直观感受椭圆的形状，在生活中寻找例子，建立数学和实际的联系. 1.2绘制椭圆，生成概念 【数学活动】取一条细绳，用图钉把绳子两端固定，用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在图纸上慢慢移动，看看能画出什么图形？这一过程中，移动的笔尖（动点M）满足的几何条件是什么 （请三名同学上黑板共同参与实验活动，其他同学分组进行） 【活动预设】第一幕：细绳两端相距特别近，图形很接近圆 第二幕：细绳两端相距适中，图形扁一些，椭圆形状更直观. 第三幕：细绳两端相距较远，笔尖绕着细绳转动那么顺畅，图形更扁长. 第四幕：细绳一端固定后，固定另一端时之前的一端被拉掉了 学生总结画图变化中的不变量，师生一起总结得出： 椭圆的定义：平面内，与两个定点F1 、F2 的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 在归纳椭圆定义的过程中，根据实验中同学们出现的现象，如第三幕和第四幕情形，结合学生回答的情况，突出体现“常数”及“常数的范围”等关键词与相应的特征.同时强调平面内的大前提. 问题2：在定义中，如果，动点的轨迹又是什么？ 当时点M的轨迹为:线段 当时点M的轨迹不存在 【设计意图】改变单一、被动的学习方式，让学生成为学习的主人，给他们提供一个自主探索学习的机会，让他们通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力.) 2.椭圆的标准方程 2.1椭圆标准方程的探求 （1）建系：（思考：如何建立适当的平面直角坐标系？） 学生回答，引导学生总结建系的基本原则. (关注对称性，方程的最简性) （2）设点：设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距2c(c>0), M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1，F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0) . （3）动点的几何特征： （4）坐标化： （5）化简：（通过设问、点拨“怎么化简带根式的式子”突破难点学生会提出两种方案：一、是直接将根式平方。二、是将其中一个根式平移再平方.这时教师让学生进行小组讨论，对比、分析这两种方法的优缺点.教师引导，发现以上同学们提出的这两种方法都需要进行两次平方，只是方法二计算较方法一较简单.） 先让学生各自在练习本上自行化简，在此过程中，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出1—2位学生的推导过程展示出来，并请学生本人作简要陈述． 问题3：①怎么能让方程 更简洁？ ②怎么能让方程更简洁？ 不妨设,再化简方程得： 该方程叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程. 【设计意图】暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或老师强加给的方法，使学生完全成了学习的主人，由被动的接受 ... ...