1.6.1 探究ω对y=sin ωx的图象的影响 学案（含答案）2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

1.6.1 探究ω对y=sin ωx的图象的影响 【学习目标】 1.结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义.(数学抽象) 2.理解y=sin ωx中ω对图象的影响.(逻辑推理) 3.掌握y=sin x与y=sin ωx图象间的变换关系.(直观想象) 【自主预习】 　　你知道冲浪运动吗 那汹涌的波涛时而把人们推向高耸的巅峰，时而又将人们卷入无底的深渊，让人们尽情地享受冲浪的乐趣.猛然间我们会发现它竟然与我们所学的正弦、余弦函数的图象是那么的相似，它们之间是不是有某种联系 相信学过本节之后，你一定会豁然开朗. 阅读教材，结合上述情境回答下列问题. 1.如何求函数y=sin ωx的周期 2.函数y=sin ωx是怎样由y=sin x变换得到的 1.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减，则ω=(　　). A.1 B. C.2 D.3 2.若将函数f(x)=2sin 2x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，则得到的新函数图象的解析式为(　　). A.y=2sin 8x B.y=2sin x C.y=8sin 2x D.y=2sinx 3.函数y=的定义域是　　　　. 4.写出一个周期为2且值域为[0，2]的函数的解析式：f(x)=　　　　. 【合作探究】 　ω对y=sin ωx的图象的影响 　　明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图描绘了筒车的工作原理.如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过t s后，盛水筒M从点P0运动到点P.设点P距离水面的高度为H. 问题1：H由哪些量决定 问题2：将点P距离水面的高度H表示为时间t(s)的函数. 问题3：若改变r，h，φ，ω的值，则可得函数y=sin x，y=sin 2x和y=sinx，它们的周期分别是什么 当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系 问题4：你能在同一坐标系中画出函数y=sin x，y=sin 2x和y=sinx的图象吗 探究ω(ω>0)对y=sin ωx的图象的影响： 一般地，对于ω>0，有sin ωx=sin(ωx+2π)=sin ωx+.根据周期函数的定义，T= 是函数y=sin ωx的最小正周期.函数y=sin ωx的图象是将函数y=sin x图象上所有点的横坐标 到原来的(当ω>1时)或 (当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标 )得到的.通常称周期的倒数=为频率. 已知函数y=sin 2x，该函数的图象可由y=sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到 【变式设问】把已知函数改为y=sinx，其他不变，如何变换 【方法总结】由y=sin x的图象，通过变换得到y=sin ωx的图象时，注意ω的取值范围：当ω>1时，缩短到原来的；当0<ω<1时，伸长到原来的倍. 为了得到函数y=sin x的图象，只需把函数y=sin 4x的图象上所有点的(　　). A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 　函数y=sin ωx的图象与性质 　　小明用五点作图法画出函数y=sin 2x与y=sin x在一个周期内的图象如图所示，根据该图回答下列问题. 问题1：函数y=sin 2x在[0，π]上的单调递增区间是什么 问题2：如何求函数y=sin 2x的单调递减区间 函数y=sin ωx(ω>0)的性质 定义域 R 值域 [-1，1] 周期 T= 奇偶性 奇函数 对称轴方程 由ωx=kπ+(k∈Z)求得 对称中心 由ωx=kπ(k∈Z)求得 单调性 单调递增区间由2kπ-≤ωx≤2kπ+(k∈Z)求得；单调递减区间由2kπ+≤ωx≤2kπ+(k∈Z)求得 已知函数f(x)=sinx，x∈R. (1)利用“五点法”画出函数f(x)的简图； (2)研究函数f(x)=sinx的性质. 【方法总结】(1)用“五点法”作图时，应先令ωx分别为0，，π，，2π，再解出x，从而确定这五点，画出简图.(2)研究函数y=sin ωx的性质可以类比正弦函数的性质，注意换元法的应用. 作出函数f(x)=sin 4x在长度为一个周期的闭区间上的简图，并研究其性质. 　求ω的值或取值范围 若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间，上单调递减，则ω的取值范围是(　　). A.0≤ω≤ B.0≤ω≤ C.≤ω≤3 D.≤ω≤3 ... ...