1.7.2 正切函数的图象与性质 学案（含答案）2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

1.7.2 正切函数的图象与性质 【学习目标】 1.掌握正切函数的周期性和奇偶性.(数学抽象) 2.掌握正切函数的性质.(数学运算) 【自主预习】 1.正切函数与正弦、余弦函数的关系是什么 2.正切函数的定义域是什么 3.正切函数在定义域上是单调函数吗 4.正切曲线是中心对称图形吗 若是，其对称中心是什么 其是轴对称图形吗 5.正切函数y=tan x的图象与直线x=kπ+，k∈Z有公共点吗 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R. (　　) (2)正切函数在R上是单调递增的. (　　) (3)正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心. (　　) (4)正切函数的最小正周期为π. (　　) 2.函数y=tanx+的定义域为　　　　　　　. 3.函数y=tan x，x∈-，的最大值为　　　　. 4.函数y=tanx-的单调递增区间是　　　　. 【合作探究】 　正切函数的图象 　　下图为正切函数y=tan x，x∈-，-∪-，∪，的图象，根据图象回答下面的问题： 问题1：作正切函数y=tan x，x∈-，的图象的关键是什么 问题2：直线y=a与图象的两交点A1，A2之间的距离是多少 问题3：y=tan x，x∈-，的值域是什么 1.正切函数y=tan x的图象与性质 函数 y=tan x 图象 定义域 值域 周期 最小正周期为 奇偶性 2.(1)正切函数的图象是由被相互平行的直线x=kπ+，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成的. (2)正切函数y=tan x，x∈-，的简图可由“三点两线法”确定. (1)函数y=|tan x|·cos x的部分图象是图中的(　　). 　　　A　　　 　　　　　　B 　　　C　　 　　　　　　　D (2)作出函数y=tan x+|tan x|的图象. 【方法总结】　　形如y=f(|x|)的图象作法步骤： ①作出函数y=f(x)在y轴右侧部分的图象； ②函数y=f(|x|)为偶函数，故将y轴右侧的图象对称到y轴左侧，保留y轴右侧部分，即可得到函数y=f(|x|)的图象. 已知函数f(x)=. (1)求函数f(x)的定义域； (2)用定义判断函数f(x)的奇偶性； (3)作出函数f(x)在[-π，π]上的图象. 　正切函数图象的应用 　　根据正切函数在一个周期内的图象，思考下面的问题. 问题1：根据图象如何解不等式tan x≥a 问题2：正切函数的图象以直线x=-和x=为边界线，说明了正切函数的什么性质 利用正切函数图象解题的两个注意点 (1)作出的正切函数的图象要尽可能地精确； (2)解题时一般先利用一个周期内的图象，再转化到整个定义域内. 函数y=的定义域为　　　　，值域为　　　　. 【方法总结】　　求与正切函数有关的函数的定义域时，除了要满足求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y=tan x有意义，即x≠kπ+，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解. 求函数y=ln(tan x)的定义域. 　正切函数的性质及其应用 　　对于正切函数的图象，数学老师请同学们类比正弦函数和余弦函数的性质，描述正切函数的单调性、奇偶性、周期性，其结果如下. 王浩宇说：“函数y=tan x在定义域R内单调递增.” 李琦说：“函数y=tan x的图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.” 张瑜说：“y=Atan(2x+φ)(A>0，ω>0)的最小正周期是2π.” 问题：上面同学的说法哪些是错误的 请说明理由. y=Atan(ωx+φ)(ω≠0)的性质 (1)单调性：只有一种单调区间，由-+kπ<ωx+φ<+kπ，k∈Z确定. ①当Aω>0时，所得的区间为单调递增区间； ②当Aω<0时，所得的区间为单调递减区间. (2)周期性：T=. (3)对称性：图象的对称中心为，0，k∈Z，不具有轴对称性. (4)奇偶性：当φ=，k∈Z时为奇函数，否则不具有奇偶性. (1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)： ①tan　　　　tan； ②tan　　　　tan-. (2)求函数y=tanx+的单调递增区间. 【方法总结】　　(1)运用正切函数的单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. ②运用 ... ...