2.6.2 正弦定理 同步学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.6.2 正弦定理 【学习目标】 1.了解正弦定理的推导过程.(逻辑推理) 2.掌握正弦定理并能解决一些简单的三角形问题.(数学运算) 【自主预习】 1.如图，在Rt△ABC中，，，存在什么关系 2.在一般的△ABC中，==还成立吗 3.在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少 与该三角形外接圆的直径有什么关系 4.已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理对任意的三角形都成立. (　　) (2)在△ABC中，等式bsin C=csin B总能成立. (　　) (3)在△ABC中，已知a，b，A，则能求出唯一的角B. (　　) (4)任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素. (　　) 2.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则sin B=(　　). A. B. C. D. 3.在△ABC中，A=30°，a=3，b=2，则这个三角形有(　　). A.一解 B.两解 C.无解 D.无法确定 4.已知△ABC的外接圆半径为2，A=60°，则BC边的长为　　　　. 【合作探究】 　正弦定理 如图，在Rt△ABC中，A=30°，斜边c=2. 问题1：试求△ABC其他的边和角，计算，，的值，从中你能发现什么结论吗 问题2：对于其他的直角三角形，此结论是否成立呢 是否能够猜测，此结论对于其他的锐角和钝角三角形都成立呢 1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即= = = . 2.正弦定理的变形 设三角形的三边长为a，b，c，外接圆的半径为R，正弦定理有如下变形： (1)a=2Rsin A，b= ，c= ； (2)sin A=，sin B= ，sin C= ； (3)a∶b∶c=sin A∶ ∶ ； (4)===. (1)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2asin B，则角A等于(　　). A.30° B.45° C.60° D.75° (2)在△ABC中，A∶B∶C=4∶1∶1，则a∶b∶c=(　　). A.4∶1∶1 B.2∶1∶1 C.∶1∶1 D.∶1∶1 【方法总结】对正弦定理的理解 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式. (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系. (4)主要功能：实现三角形中边角关系的转化. 在△ABC中，若=，则B的值为　　　　. 在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b=a，B=60°，则A=　　　　. 　利用正弦定理解三角形 木工张师傅的一个三角形形状的模型坏了，只剩下如图所示的部分，A=47°，B=53°，AB长为1 m，张师傅想修好这个零件，但他不知道AC和BC的长度是多少，你能帮张师傅这个忙吗 问题：完成情境中的问题求解. 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角. 在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，求A，b，c. 【方法总结】在解三角形时，常用到以下结论： (1)a+b>c，b+c>a，a+c>b，即任意两边之和大于第三边. (2)在△ABC中，①sin A=sin B A=B a=b，②cos A=cos B A=B a=b，③cos A>cos B AB a>b sin A>sin B，即大角对大边，大边对大角. (4)三角形内角和定理及相关结论：A+B+C=π，A+B=π-C，=-，sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C，sin =cos ，cos =sin . (5)在锐角△ABC中，A+B> A>-B sin A>cos B cos A