8.2 一元线性回归模型及其应用 课时2 一元线性回归模型及其应用 【学习目标】 1.了解随机误差、残差、残差图的概念.(数学抽象) 2.会通过分析残差判断一元线性回归模型的拟合效果.(数据分析、数学运算) 3.了解常见的非线性回归模型转化为一元线性回归模型的方法.(数学运算、数据分析、数学建模) 【自主预习】 1.什么是残差 2.如何比较两个模型的拟合效果 3.R2的计算公式是什么 4.什么是非线性经验回归方程 5.如何猜测非线性经验回归方程的类型 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在残差图中,纵坐标为残差,横坐标可以为样本编号. ( ) (2)残差平方和越小,回归模型的拟合效果越好. ( ) (3)R2越小,回归模型的拟合效果越好. ( ) 2.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x,y的回归模型时,分别选择了4种不同的模型,计算它们的决定系数R2,得到下表. 甲 乙 丙 丁 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 建立的回归模型拟合效果最好的是( ). A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 3.对变量x,y进行回归分析时,依据得到的4个不同的回归模型画出残差图,则下列模型拟合精度最高的是( ). A B C D 4.某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了如表所示的一组试验数据. x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下5个模拟函数: ①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8;④y=log2x;⑤y=x+1.74. 请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选 .(填序号) 【合作探究】 残差 小明:还有什么方法能刻画回归效果呢 小明同桌:作残差图. 问题1:如何作残差图 问题2:怎样利用残差说明模型的拟合效果 1.观测值 对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的称为预测值. 2.残差 观测值减去预测值所得的差称为残差. 3.残差分析 残差是随机误差的估计结果,通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果,以及判断原始数据中是否存在可疑数据等,这方面工作称为残差分析. 4.残差的应用 一般地,建立经验回归方程后,通常需要对模型刻画数据的效果进行分析.借助残差分析还可以对模型进行改进,使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策. 随着生活水平的逐步提高,人们对文娱活动的需求与日俱增,其中观看电视就是一种老少皆宜的娱乐活动.但是我们在观看电视娱乐身心的同时,也要注意把握好观看时长.近期研究显示,一项久坐的生活指标———看电视时长,是导致视力下降的重要因素,即看电视的时间越长,视力下降的风险越大.研究者在某小区统计的每天看电视时长x(单位:小时)与视力下降人数y的相关数据如下: 编号 1 2 3 4 5 x 1 1.5 2 2.5 3 y 12 16 22 24 26 (1)请根据上面的数据求y关于x的经验回归方程. (2)我们用第(1)问求出的经验回归方程=x+中的估计bx+a,因为随机误差e=y-(bx+a),所以=y-是e的估计值,称为点(xi,yi)的残差. ①填写下面的残差表,并绘制残差图; 编号 1 2 3 4 5 x 1 1.5 2 2.5 3 y 12 16 22 24 26 ②若残差图所在带状区域宽度不超过4,则我们认为该模型拟合精度比较高,经验回归方程的预报精度较高,试根据①中绘制的残差图分析该模型拟合精度是否比较高. 附:经验回归方程=x+中==,=-. 【方法总结】作残差分析时,一般从以下几个方面予以说明:(1)散点图;(2)决定系数;(3)残差图中的异常点和残差点所在的水平带状分布区域的宽窄. 两个线性相关变量x与y的统计数据如表所示: x 9 9.5 10 10.5 11 y 11 10 8 6 5 其经验回归方程是=x+40,则相对应于点(11,5)的残差为( ). A.0.1 B.0.4 C.0.3 D.0.2 R2的计算和非线性经验回归方程 变量y关于x的非线性经验回归方程为=,其一组数据如表所示: x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 问题1:如何求非线性经验回归方程=中的 问题2:你能写出解题过程吗 ... ...
