第八章 6 三角形的内角和定理 练习（2课时、含答案） 2024-2025学年数学鲁教版（五四制）七年级下册

三角形的外角 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为三角形的一个外角． 三角形的一个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角．一个三角形共有6个外角，通常每个顶点处只取一个外角． 推论的定义 由一个基本事实或定理直接推出的真命题，叫做这个基本事实或定理的推论． 三角形内角和定理的推论 1．推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 2．推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的一个外角等于与它相邻的内角时，该三角形是直角三角形；三角形的每个外角大于与它相邻的内角时，该三角形是锐角三角形；三角形的一个外角小于与它相邻的内角时，该三角形是钝角三角形． 三角形内角和定理的推论 典例1 如图，求证： 典例1图 (1)∠BDC＞∠A； (2)∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A. 延长BD，交AC于点E(或连接BD，或连接AD并延长)，构造两个三角形，在这两个三角形中，借助三角形内角和的推论，寻找角的关系进行证明即可． 证明：如图，延长BD与AC相交于点E. 典例1图 (1)∵∠BDC是△CDE的一个外角， ∴∠BDC＞∠1. 又∵∠1是△BEA的一个外角， ∴∠1＞∠A. ∴∠BDC＞∠A； (2)∵∠1是△BEA的一个外角， ∴∠1＝∠B＋∠A. 又∵∠BDC是△CDE的一个外角， ∴∠BDC＝∠C＋∠1. ∴∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A. (2)中的结论∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A是一个常见的结论． 变式图 变式 如图，P为△ABC内一点，延长BP交AC于点D.用“＜”表示∠1，∠2，∠A的关系为∠A＜∠2＜∠1． 三角形内角和定理及其推论的应用 典例2 如图，∠A，∠B，∠C，∠D，∠E为五角星的五个角，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数． 典例2图 连接CD，利用三角形内角和定理及其推论，将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E转化为∠A＋∠ACD＋∠ADC即可求解．(本题有多种解题方法，方法合理即可) 典例2图 解：如图，连接CD， ∴∠B＋∠E＝∠FCD＋∠FDC. ∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E ＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋(∠B＋∠E) ＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠FCD＋∠FDC ＝∠A＋(∠ACE＋∠FCD)＋(∠FDC＋∠ADB) ＝∠A＋∠ACD＋∠ADC ＝180°. 变式 小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D＋∠E等于( B ) 变式图 A．100° B．110° C．120° D．130° 1．[2024春·南京期中]如图，在△ABC中，点D在边AB的延长线上，∠DBC＝112°，∠A＝35°，则∠C的度数为( D ) 第1题图 A．35° B．55° C．68° D．77° 2．如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1＋∠2的度数为( C ) 第2题图 A．140° B．190° C．240° D．320° 3．如图，点A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是( B ) 第3题图 A．180° B．360° C．540° D．720° 4．如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，则∠BDC的度数为110°． 第4题图 5．已知，如图，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC.F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G.求证： (1)∠EGH＞∠ADE； (2)∠EGH＝∠ADE＋∠A＋∠AEF. 第5题图 证明：(1)∵∠EGH是△FBG的外角， ∴∠EGH＞∠B. 又∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE， ∴∠EGH＞∠ADE； (2)∵∠BFE是△AFE的外角， ∴∠BFE＝∠A＋∠AEF. ∵∠EGH是△BFG的外角， ∴∠EGH＝∠B＋∠BFE， ∴∠EGH＝∠B＋∠A＋∠AEF， 又∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE， ∴∠EGH＝∠ADE＋∠A＋∠AEF.三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 ． 其他重要结论 1．直角三角形的两个锐角 ． 2．有两个角互余的三角形是 ． 3．四边形的内角和等于 ． 三角形内角和定理 典例 如图，已知AB∥DE. 求证：∠B＋∠C＋∠E＝360°. 典例图 方法一：过点C作AB的平行线，把∠BCE分割成两个角，应用平行线的性质即可证得．方法二： ... ...