1 周期变化 课标要求 1.了解现实生活中的周期现象,并能判断其周期. 2.了解周期函数的概念与最小正周期的意义. 3.会利用函数的周期性解决问题. 【引入】 观察钱塘江潮,我们会发现:波浪每间隔一段时间会重复出现.这种现象被称为周期现象.在我们的日常生活、生产实践中存在着大量周期性变化的现象.我们能不能用数学方法来探究周期现象中所蕴涵的规律呢 一、周期变化现象 探究1 游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中圆心O距离地面40.5米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请解答下列问题: (1)你与地面的距离随时间的变化而变化,这个现象是周期现象吗 (2)转四圈需要多少时间 _____ _____ _____ 【知识梳理】 每经过相同(时间)间隔,某种现象就 出现一次,这种现象称为周期变化现象.这个间隔就是周期. 温馨提示 (1)周期变化现象的周期的单位不一定是时间,也可以是角度等. (2)若某物体做周期运动(或变化),则这个物体从任一状态开始运动(或变化),经过一个周期(或周期的整数倍)后,总是回到开始的状态. 例1 判断下列现象是否为周期现象,并说明理由. (1)地球的自转; (2)连续抛掷一枚骰子,朝上一面的点数; (3)钟表的秒针的转动; (4)某段高速公路每天通过的车辆数. _____ _____ _____ 思维升华 周期现象的判断关键点:首先要认真审题,明确题目的实际背景,然后牢牢抓住“间隔相同,现象(或值)重复出现”这一重要特征.常用方法有: (1)根据我们熟知的自然规律、生活常识等判断; (2)将问题涉及变量的值列在表格中分析判断; (3)将问题涉及的数据用散点图表示出来观察判断. 训练1 判断下列现象是否为周期现象: (1)每届世界杯的举办时间; (2)北京天安门广场的国旗,日出时升旗,日落时降旗,则其每天的升旗时间; (3)中央电视台每晚7:00的新闻联播. _____ _____ _____ 二、周期函数 探究2 (链接教材P2例1、例2)已知[x]表示不超过x的最大整数,画出下列函数的图象,并考察其图象是否具有周期现象 (1)f(x)=(-1)[x];(2)f(x)=x-[x]. _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.周期函数与周期的概念 一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有x+T∈D且满足 ,那么函数y=f(x)称作周期函数,非零常数T称作这个函数的 . 2.最小正周期:如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个 的正数,那么这个 就称作函数y=f(x)的 .若不加特别说明,本书所指周期均为函数的最小正周期. 温馨提示 (1)周期函数的定义域必是无界的. (2)周期函数的定义是对定义域内的每一个自变量来说的,如果只有几个特殊的x,满足f(x+T)=f(x),则T不是f(x)的周期. (3)不是所有的函数都是周期函数.不是所有的周期函数都存在最小正周期.如f(x)=0,不存在最小正周期. (4)周期函数的周期不唯一,若T为f(x)的周期,则nT(n∈N+)也是f(x)的周期. 例2 (1)造父变星是一类高光度周期性脉动变星,其亮度随时间呈周期性变化.下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图,由图可知此造父变星亮度变化的周期是 ( ) A.5.5天 B.7天 C.14天 D.20天 (2)已知定义在N上的函数f(n)满足f(n+2)=f(n+1)-f(n). 求证:f(n)是周期函数,并求出其周期. _____ _____ _____ 思维升华 判定或证明函数f(x)是周期函数关键是找到满足周期函数定义中的非零常数T. 训练2 (1)8的18次方的末位数字是 . (2)已知函数f(x)的周期为T. 求证:①函数f(2x)的周期为; ②函数f的周期为2T. _____ _____ _____ 三、函数周期性的推断与应用 例3 (1)已知函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+2)·f(x)=k(k为常数),当x∈[0,2]时,f(x)=x2+1,则f(5)= ( ) A.1 B.2 C.3 D.5 (2)设f(x)是定义在R上 ... ...
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