5.2 余弦函数的图象与性质再认识 课标要求 1.会用“五点(画图)法”“图象变换法”作余弦函数的图象. 2.理解余弦函数的性质,会求y=Acos x+B的单调区间及最值. 3.会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小,能根据图象解简单的余弦函数不等式. 【引入】 前面,我们借助于单位圆,用五点(画图)法作出了正弦函数y=sin x的图象———正弦曲线,而且知道在精确度要求不高时,可以采用“五点(画图)法”作出它的简图,那么对于余弦函数y=cos x的图象,是不是也可以用同样的方法作出它的简图呢 这节课我们来学习余弦函数的图象与性质. 一、余弦函数的图象 探究1 类比正弦曲线的作法,作出余弦函数y=cos x的图象. _____ _____ _____ 探究2 类比正弦曲线的“五点(画图)法”,余弦函数y=cos x的图象有哪五个关键点 _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.余弦函数y=cos x,x∈R的图象称作余弦曲线. 2.要画出y=cos x,x∈[0,2π]的图象,可以通过描出 五个关键点,再用光滑曲线将它们顺次连接起来,就可以得到余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象. 3.根据诱导公式sin=cos x,x∈R.只需把正弦函数y=sin x,x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数的图象(如图). 温馨提示 (1)y=cos x,x∈[0,2π]上的五点是指图象的最高点、最低点以及与x轴的交点. (2)y=cos x的图象由y=sin x的图象向左平移个单位长度得到,图象仍然夹在y=±1之间. 例1 (链接教材P36例5)用“五点(画图)法”作函数y=1-cos x(0≤x≤2π)的简图. _____ _____ _____ 思维升华 作形如y=acos x+b,x∈[0,2π]的简图时,可由“五点(画图)法”作出,其步骤:①列表,取x=0,,π,,2π;②描点;③用光滑曲线顺次连接成图. 训练1 用“五点法”作函数y=2cos x+1,x∈[0,2π]的简图. _____ _____ _____ 二、余弦函数的性质 探究3 观察余弦曲线(如图) (1)y=cos x,x∈R是偶函数吗 若是,如何证明 (2)y=cos x,x∈R是周期函数吗 若是,如何证明 (3)写出y=cos x,x∈R的对称轴方程. (4)写出y=cos x,x∈R的对称中心的坐标. _____ _____ _____ 【知识梳理】 函数 y=cos x 定义域 R 图象 值域 [-1,1] 奇偶性 偶函数 周期性 以2kπ为周期(k∈Z,k≠0),2π为最小正周期 单调性 在区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调递增; 在区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减 最大值与 最小值 当x=2kπ,k∈Z时,最大值为1; 当x=2kπ+π,k∈Z时,最小值为-1 对称轴 x=kπ,k∈Z 对称中心 ,k∈Z 温馨提示 (1)y=cos x,x∈R不具有单调性,但有无穷多个单调区间. (2)y=cos x在某个象限内也不具有单调性. 例2 (1)函数y=的定义域为 . (2)函数y=的值域为 . _____ _____ _____ 思维升华 对于与余弦函数有关的函数 (1)求定义域多归结为解关于余弦函数的不等式,借助于余弦曲线比用单位圆求解更方便. (2)求值域的方法与求与正弦函数有关的函数的值域方法类似(可参见上节例4中的思维升华). 训练2 (1)求函数y=的定义域. (2)求函数y=的值域. _____ _____ _____ 三、余弦函数单调性的应用 例3 (链接教材P39练习T4)(1)函数y=3-2cos x的单调递增区间为 . (2)(多选)已知α∈(0,π),且cos α≤-sin,则α可取 ( ) A. _____ _____ _____ 思维升华 1.形如y=acos x+b(a≠0)函数的单调区间 (1)当a>0时,其单调性与y=cos x的单调性一致; (2)当a<0时,其单调性与y=cos x的单调性相反. 2.比较大小 (1)同名三角函数比较大小,若两角不在同一个单调区间上时,应先用诱导公式化为同一个单调区间上,再用单调性比较大小. (2)非同名三角函数比较大小,利用诱导公式化为同名三角函数比较大小. 训练3 (1)(链接教材P38T1(4))函数y=sin x,y=cos x在下列区间内都单调递增的是 ( ) A. (2)cos,cos,cos三个数的大小关系为 ( ) A.cos B.co ... ...
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