§4 平面向量基本定理及坐标表示 4.1 平面向量基本定理 课标要求 1.了解平面向量的基、正交基、标准正交基的概念,理解基的作用. 2.掌握平面向量基本定理,能运用平面向量基本定理解决有关问题. 【引入】 在物理学中,一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,其作用力体现在两个方向:与斜面平行的方向和与斜面垂直的方向,故在解决问题时,常常要把重力分解为使物体沿斜面下滑的力F1和垂直于斜面的力F2.即G=F1+F2,此时向量G写成了两个向量F1与F2的和的形式,那么平面内任一向量是否能写成平面内两个不共线向量和的形式呢 一、平面向量基本定理 探究1 如图,同一平面内的三个向量e1,e2,a,已知e1,e2不共线,能否把向量a表示成λ1e1+λ2e2的形式 若能,λ1,λ2是否是唯一确定的 _____ _____ _____ 探究2 如图,e1,e2是两个不共线向量,试把向量,,,写成λ1e1+λ2e2的形式. _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理:如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内 向量a,存在 的一对实数λ1,λ2,使a= . (2)基:把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基,记为 . 2.正交基、正交分解及标准正交基 (1)若基中的两个向量互相 ,则称这组基为正交基. (2)在 下向量的线性表示称为正交分解. (3)若基中的两个向量是互相垂直的单位向量,则称这组基为 . 温馨提示 (1)一组基中的两个向量是不共线向量. (2)一个向量在确定的一组基下的线性表示是唯一确定的. (3)一个非零向量在不同两组基下的线性表示是不同的. (4)若{e1,e2}是平面的一组基,则由e1,e2的所有线性表示构成的集合{λ1e1+λ2e2|λ1,λ2∈R}就是平面内的全体向量. 例1 (1)若e1,e2是平面内的一组基,则下列四组向量能作为平面向量的基的是 ( ) A.e1-e2与e2-e1 B.2e1+e2与e1+e2 C.2e2-3e1与6e1-4e2 D.e1+e2与e1-e2 (2)(多选)下列四个命题中,正确的是 ( ) A.一个平面内有且只有一组不平行的向量可作为表示该平面内所有向量的基 B.一个平面内有无数多组不平行的向量可作为表示该平面内所有向量的基 C.基中的两个向量可能互相垂直 D.一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合 _____ _____ _____ 思维升华 判定一组向量a,b能否构成一组基主要有两种方法: (1)观察a=λb是否成立,若能成立时不能构成一组基,若不能成立则可以构成一组基. (2)假设a=λb,判断λ是否存在,若λ存在则不能构成一组基,否则能构成一组基. 训练1 (1)设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,下列四组向量中,不能作为平面向量的一组基的是 ( ) A.e1+e2和e1-2e2 B.e1+2e2和e2+2e1 C.3e1-2e2和4e2-6e1 D.e2和e2+e1 (2)下列说法错误的是 ( ) A.一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示 B.平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示 C.平面内表示向量的基底不唯一 D.平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一 二、用基表示向量 例2 如图,已知在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F分别是DC,AB的中点,设=a,=b,选择基{a,b},试写出向量,在此基下的分解式. _____ _____ _____ 迁移 本例中,若设BC的中点为G,则= . _____ _____ _____ 思维升华 (1)用基表示向量,实质上是利用向量的三角形法则、平行四边形法则及向量的数乘,进行向量的线性运算. (2)基的选取有任意性,可根据题目条件选取利于解题的基,必要时可以建立方程或方程组,通过解方程或方程组求出要表示的向量. 训练2 (1)如图,在正方形ABCD中,设=a,=b,=c,则在基{a,b}下,可表示为 ,在基{a,c}下,可表示为 . (2)在平行四边形ABCD中,M,N分别是DC, ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
