4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系（课件 学案 练习，共6份） 北师大版（2019）选择性必修 第一册 第三章

第二课时　空间向量与垂直关系 课标要求　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系. 【引入】 建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面.你知道这是为什么吗 这节课我们学习空间向量与垂直的关系. 一、空间向量与垂直关系 探究1 如图，根据直线、平面的位置关系，判断直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系 探究2 如图所示，AB⊥α，垂足为点B，AC∩α=C，l α，且l⊥BC，由向量法能否得到l⊥AC. 【知识梳理】 1.设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则l⊥m 　　　 ;l⊥α 　　　 ;α⊥β 　　　 . 2.三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理:若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的　　　　垂直，则它也和这条　　　　垂直. (2)三垂线定理的逆定理:若平面内的一条直线和这个平面的一条　　　　垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的　　　　垂直. 温馨提示　在三垂线定理及逆定理中“平面内的一条直线“这个条件不能忽略. 例1 (1)已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u=(-1，0，5)，v=(t，5，1)，则t的值为　　　　. (2)下列命题中正确的是 (　　) A.若直线l与平面α外的一条直线l'在平面α内的投影垂直，则l⊥l' B.若直线l与平面α外的一条直线l'垂直，则l与l'在平面α内的投影垂直 C.若向量a和直线l在平面α内的投影垂直，则a⊥l D.若非零向量a和平面α平行，且和直线l垂直，直线l不与平面α垂直，则a垂直于l在平面a内的投影 思维升华　注意垂直关系与向量关系间的正逆应用，既可判定垂直关系，也可以求参数. 训练1 (1)设直线l1的一个方向向量为a=(1，2，-2)，直线l2的一个方向向量为b=(-2，3，m)，若l1⊥l2，则实数m的值为 (　　) A.1 B.2 C. D.3 (2)若直线l的一个方向向量为a=(1，0，2)，平面α的一个法向量为μ=(-2，0， -4)，则直线l与平面α的关系为　　　　. 二、证明直线和直线垂直 例2 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=CC1.求证:AB1⊥MN. 思维升华　利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤: (1)基向量法:①选取三个不共面的已知向量为空间向量的一组基;②把两直线的方向向量用基表示;③计算两直线的方向向量的数量积为0;④由方向向量垂直得到两直线垂直. (2)坐标法:①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标;②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标;③④与(1)同. (3)借助平面的法向量来证明线线垂直:①平面α的法向量为v，直线l的方向向量为a，若a∥α，则l与法向量所在直线垂直;②平面α、β的法向量分别为v1，v2，若α⊥β，则v1⊥v2. 训练2 如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的正方形，且SA=1，点M是SD的中点.求证:SC⊥AM. 三、直线和平面垂直 例3 (链接教材P127练习T3)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点. 求证:EF⊥平面B1AC. 思维升华　证明直线与平面垂直的方法:本例法一、法二中建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的.法三选一组基，将相关向量用基表示出来，然后利用向量的运算来证明. 训练3 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点.求证:EF⊥平面PAB. 四、平面和平面垂直 例4 在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB ... ...