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课件网) §3.3 函数的单调性 【复习目标】 1.理解和掌握函数单调性的定义. 2.掌握判断和证明函数单调性的方法. 3.能利用函数的单调性解决简单问题. 2.图像特征 增函数:函数值y随自变量x的增大而增大,图像自左到右呈上升趋势(如图1所示) 减函数:函数值y随自变量x的增大而减小,图像自左到右呈下降趋势(如图2所示) 图1 图2 3.单调区间 如果函数在某个给定区间上是增函数或是减函数,就说函数在此区间上具有单调性,此区间叫做函数的单调区间.单调区间包括单调递增区间和单调递减区间. 【例题精解】 【例1】 函数y=x+3在R上是 ( ) A.增函数 B.减函数 C.非单调函数 D.不能判断 【解】 因为y=x+3是一次函数,且k=1>0,所以函数y=x+3为增函数.故选A. 【分析】 此题是选择题,熟记常见函数的单调性可快速解题.一次函数f(x)=kx+b(k≠0),当k>0时为增函数,当k<0时为减函数.利用结论判断函数的单调性时,必须先明确函数的类型,再结合结论解题. 【答案】 A 【点评】 熟记一次函数的单调性.一次函数f(x)=kx+b(k≠0),当k>0时函数为增函数,当k<0时函数为减函数. 【对点练习2】 已知函数y=(k+2)x+2在R上是减函数,则k的取值范围是 ( ) A.(2,+∞) B.(-2,+∞) C.(-∞,2) D.(-∞,-2) 【答案】 D 【解析】 由k+2<0,解得k<-2.故选D. 【例3】 已知函数f(x)是R上的减函数,那么 ( ) A.f(3)>f(2)>f(1) B.f(3)>f(1)>f(2) C.f(3)
2>1, ∴f(3)x2>x3,有f(x1)f(-3) C.f(-1)=f(-3) D.不能判断 【答案】 B 【解析】 -1>-3,y=f(x)在R上是增函数,则f(-1)>f(-3).故选B. 【例4】 函数y=f(x)在R上是增函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是 ( ) A.(-∞,-3) B.(0,+∞) C.(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) 【解】 ∵函数y=f(x)在R上是增函数,且f(2m)>f(-m+9), ∴2m>-m+9,即3m>9.解得m>3.故选C. 【点评】 根据题意及函数单调性的定义可得,如果y=f(x)在R上是增函数,那么当f(x1)>f(x2)时,有x1>x2.则f(2m)>f(-m+9)可转化为2m>-m+9,进而可解得m的取值范围. 【对点练习4】 若函数y=f(x)在R上是减函数,且f(2m-1)3m+1,即-m>2,解得m<-2. 故实数m的取值范围为(-∞,-2). 【仿真训练】 一、选择题 1.下列命题正确的是 ( ) A.函数y=kx-1,当k>0时,在区间(-∞,+∞)上是减函数 B.函数y=kx-1,当k<0时,在区间(-∞,+∞)上是增函数 C.函数y=kx-1,当k>0时,在区间(-∞,+∞)上是增函数 D.函数y=kx-1,当k>0时,在区间[0,+∞)上是减函数 【答案】 C 2.函数f(x)=-3x+1在R上是 ( ) A.增函数 B.减函数 C.非单调函数 D.不能判断 【答案】 B 3.函数f(x)=5x2在R上是 ( ) A.增函数 B.减函数 C.非单调函数 D.不能判断 【答案】 C 【答案】 C 【答案】 D 6.函数y=x2+3在区间(-∞,0]上是 ( ) A.增函数 B.减函数 C.非单调函数 D.不能判断 7.函数y=(x-3)2+2的单调减区间是 ( ) A.(-∞,3] B.[3,+∞) C.(-∞,2] D.[2,+∞) 9.若函数f(x)在R上具有单调性,且满足f(2)>f(3),则f(x)是 ( ) A.增函数 B.减函数 C.非单调函数 D.不能判断 二、填空题 11.函数f(x)=x2+1的单调增区间是 ,单调减区间是 . 12.若y=(3k-1)x+k是R上的减函数,则k的取值范围为 . 【答案】 (-1,+∞) 14. ... ... 