3.2.2 复数的乘法与乘方、复数的除法（课件+学案+练习，共3份）湘教版（2019）必修第二册 第3章

3.2.2　复数的乘法与乘方、复数的除法 课标要求　掌握复数代数形式的乘法、乘方和除法运算，理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 【引入】 我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)·(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，复数的加减法也可以看作多项式相加减，那么复数的乘除法又该如何定义呢？ 一、复数的乘法与乘方 探究1 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？ _____ _____ _____ 探究2 类比实数的运算律，你认为复数的乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_____. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝_____ 结合律 (z1·z2)·z3＝_____ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_____ 温馨提示　(1)两个复数的积仍然是一个确定的复数；(2)在复数中，完全平方公式、平方差公式仍然适用. 3.复数的乘方运算 对任意复数z，z1，z2及正整数m，n，有zm·zn＝_____，(zm)n＝_____，(z1z2)n＝_____，特别地，i4n＋1＝____，i4n＋2＝____，i4n＋3＝____，i4n＝____. 例1 (链接教材P107例2)计算下列各题： (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　1.两个复数代数形成的乘法运算的一般步骤：(1)首先按多项式的乘法展开；(2)再将i2换成－1；(3)然后再进行复数的加、减运算. 2.复数代数形式的乘法运算常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R). (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). (3)(1±i)2＝±2i. 训练1 (1)若复数(1－i)(a＋i)的实部小于零，虚部大于零，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，1) B.(－∞，－1) C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞) (2)计算：1＋i＋i2＋…＋i2 022＋i2 023＋i2 024＋i2 025＝_____. 二、复数的除法 探究3 类比实数的除法是乘法的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？ _____ _____ _____ 【知识梳理】 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0是任意两个复数)，则＝＝_____＝＋i. 温馨提示　(1)复数除法实质上就是分母实数化的过程； (2)复数的除法法则形式复杂，难于记忆，所以有关复数的除法运算，只要记住对分母进行“实数化”，然后结果再写成复数的代数形式a＋bi(a，b∈R)即可. 例2 (链接教材P108例3)计算下列各题： (1)；(2)；(3). _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　复数的除法运算法则的应用 复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘以适当的非零复数，将分母化为实数，再计算. 训练2 计算下列各题： (1)＋(5＋i2)－； (2)； (3)＋＋. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 三、复数范围内解方程 例3 (链接教材P108例4)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否为方程的根. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　解决复数方程问题的方法 与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解.根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用. 训练3 已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.(1＋i)(2－i)＝(　　) A.－3－i B.－3＋i C.3－i D.3＋i 2.设a是实数，且＋是实数，则a＝(　　) A. B.1 C. D.2 3.若 ... ...