人教版五年级数学下册《长方体与正方体的表面积》讲义

五年级数学下册《长方体与正方体的表面积》讲义 一、知识框架 在之前的学习中，我们已经认识了长方体和正方体的基本特征，如长方体有 6 个面，相对的面完全相同；正方体的 6 个面都相等。在此基础上，我们进一步学习长方体与正方体的表面积，这不仅加深对立体图形的认识，也为解决生活中的实际问题提供帮助，后续还将关联到体积等知识的学习。 二、考点梳理 （一）长方体与正方体表面积的定义 ★长方体：长方体 6 个面的总面积，叫做它的表面积。长方体相对的面的面积相等，即上面（下面）的面积 = 长 × 宽，前面（后面）的面积 = 长 × 高，左面（右面）的面积 = 宽 × 高。 ★正方体：正方体 6 个面的总面积，叫做它的表面积。正方体的 6 个面都是正方形且面积都相等，每个面的面积 = 棱长 × 棱长。 （二）长方体与正方体表面积的计算公式 ★长方体表面积公式：，其中表示长，表示宽，表示高。这是因为长方体有三组相对的面，每组相对面的面积分别为、、，将三组面的面积相加后乘以 2，就得到长方体的表面积。 ★正方体表面积公式：，其中表示正方体的棱长。由于正方体 6 个面面积都相等，每个面面积为，所以正方体表面积为 6 个面面积之和，即 。 三、重点题型解析 （一）直接应用公式计算表面积 无盖容器表面积计算 例 1：做一个长 6 分米，宽 4 分米，高 3 分米的长方体无盖玻璃鱼缸，至少需要多少平方分米的玻璃？ 【解题思路】这是一个求长方体部分表面积的问题。因为鱼缸无盖，所以只需求 5 个面的面积之和，即下面、前面、后面、左面、右面的面积之和。下面的面积为长 × 宽，即平方分米；前面和后面面积相同，为长 × 高，平方分米；左面和右面面积相同，为宽 × 高，平方分米。将这 5 个面的面积相加，平方分米。 【规范解答】 （平方分米） 答：至少需要 84 平方分米的玻璃。 长方体通风管表面积计算 例 2：加工厂要制作一个长方体形状的通风管，管口是边长 3 分米的正方形，管长 4 米。制作这个通风管至少需要多少平方米铁皮？ 【解题思路】通风管是没有两端的面的，所以这个长方体通风管只有 4 个面，且这 4 个面的面积相等。先统一单位，3 分米 = 0.3 米，每个面的面积为 0.3×4，那么 4 个面的总面积就是。 【规范解答】 3 分米 = 0.3 米 （平方米） 答：制作这个通风管至少需要 4.8 平方米铁皮。 （二）棱长变化对表面积的影响 例 3：一个正方体的棱长扩大到原来的 2 倍，它的表面积扩大到原来的几倍？ 【解题思路】设原正方体棱长为，则原表面积为。当棱长扩大到原来的 2 倍，新棱长为，新表面积为。用新表面积除以原表面积，，可知表面积扩大到原来的 4 倍。 【规范解答】 设原正方体棱长为，原表面积 新棱长为，新表面积 答：它的表面积扩大到原来的 4 倍。 （三）拼接与切割问题 正方体拼接成长方体的表面积变化 例 4：手工课上，小红把两个棱长为 3 厘米的正方体拼成一个长方体。这个拼成的长方体的表面积是多少平方厘米？ 【解题思路】两个正方体拼成长方体后，表面积会减少 2 个正方形的面。可以先算出两个正方体的表面积之和，再减去减少的 2 个面的面积；也可以根据拼成后长方体的长、宽、高，直接套用长方体表面积公式计算。 【规范解答】 方法一：两个正方体表面积之和为平方厘米，减少的 2 个面的面积为平方厘米，所以拼成的长方体表面积为平方厘米。 方法二：拼成后的长方体长为厘米，宽和高仍为 3 厘米，表面积平方厘米。 答：拼成的长方体的表面积是 90 平方厘米。 长方体切割成正方体的表面积变化 例 5：有一个长方体木块，长 10 厘米，宽 8 厘米，高 6 厘米。如果把它锯成一个最大的正方体，正方体的表面积比原来长方体表面积减少多少平方厘米？ 【解题思路】锯成的最大正方体的棱长为长 ... ...