人教版五年级数学下册《公因数与最大公因数的应用》讲义

五年级数学下册《公因数与最大公因数的应用》讲义 一、考点梳理 （一）公因数与最大公因数定义 ★公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。例如，8 的因数有 1、2、4、8，12 的因数有 1、2、3、4、6、12，那么 8 和 12 公有的因数 1、2、4 就是它们的公因数。 ★最大公因数：公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。如 8 和 12 的最大公因数是 4。 （二）求最大公因数的方法 ★列举法：分别列出两个数的因数，再找出它们的公因数，最后确定最大公因数。例如求 16 和 24 的最大公因数，16 的因数有 1、2、4、8、16，24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24，它们的公因数有 1、2、4、8，所以最大公因数是 8。 ★分解质因数法：把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公因数。比如，16 = 2×2×2×2，24 = 2×2×2×3，公有质因数为 2、2、2，那么 16 和 24 的最大公因数就是 2×2×2 = 8。 ★短除法：先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。 （三）最大公因数的应用场景 在生活中，涉及将物品等分成若干相同部分，或者将大的物体分割成小的相同物体时，常常会用到最大公因数的知识。比如裁剪布料、切割木板、分配物品、搭建模型等问题。 二、重点题型解析 例 1：裁剪布料问题 有一块长 48 分米、宽 36 分米的布料，要把它剪成同样大小的正方形布料，且没有剩余，正方形布料的边长最长是多少分米？ 【解题思路】 要把长方形布料剪成同样大小的正方形且没有剩余，那么正方形的边长必须是 48 和 36 的公因数。题目要求正方形布料的边长最长，就是求 48 和 36 的最大公因数。 方法一：列举法。48 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；36 的因数有 1、2、3、4、6、9、12、18、36。它们的公因数有 1、2、3、4、6、12，所以最大公因数是 12，即正方形布料的边长最长是 12 分米。 方法二：分解质因数法。48 = 2×2×2×2×3，36 = 2×2×3×3，公有质因数为 2、2、3，最大公因数为 2×2×3 = 12。 方法三：短除法。用短除法对 48 和 36 进行计算，除数依次为 2、2、3，将除数相乘 2×2×3 = 12，得出最大公因数是 12。 例 2：分配物品问题 把 42 本故事书和 30 本科技书平均分给若干个小组，使每组中故事书的本数相同，科技书的本数也相同，最多可以分给几个小组？每个小组分得故事书和科技书各多少本？ 【解题思路】 要使每组中故事书和科技书的本数分别相同，那么小组数就是 42 和 30 的公因数，要求最多可以分给几个小组，就是求 42 和 30 的最大公因数。 通过短除法，用 2 和 3 依次去除 42 和 30，可得最大公因数为 2×3 = 6，即最多可以分给 6 个小组。 42÷6 = 7（本），每个小组分得故事书 7 本；30÷6 = 5（本），每个小组分得科技书 5 本 。 三、巩固练习 （一）基础题 有两根彩带，一根长 21 厘米，另一根长 28 厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不许有剩余，每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段？ 【分析】本题考查最大公因数在切割彩带问题中的应用，需先求出 21 和 28 的最大公因数，进而得出每小段的长度和总段数。 手工课上，老师把 36 张红纸和 45 张蓝纸平均分给若干个小组，每个小组得到的红纸和蓝纸数量分别相同，最多能分给几个小组？每个小组分得红纸和蓝纸各多少张？ 【分析】该题要求将两种颜色的纸平均分配，实际是求 36 和 45 的最大公因数，从而确定小组数以及每个小组分得的纸张数。 （二）进阶题 把一个长 56 厘米、宽 42 厘米的长方形铁片，剪成边长是整厘米数，且面积相等的小正方形铁片，恰好没有剩余，至少可以剪成多 ... ...