3.4 曲线与方程 课标要求 1.进一步理解曲线的方程和方程的曲线的概念，掌握求曲线的方程和由方程研究曲线性质的方法. 2.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的步骤. 3.掌握求轨迹方程的几种常用方法. 【知识梳理】 1.曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 此时，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线. 温馨提醒 曲线的方程的定义中，(1)与(2)缺一不可，而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一组实数解而言的. 2.求动点M轨迹方程的一般步骤 (1)设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立)； (2)写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来； (3)化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程. 温馨提醒 求曲线的方程需要注意的问题 (1)坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同. (2)一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等. (3)方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整式.如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，或找回属于轨迹而遗漏的点. (4)“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状. 【自测检验】 1.思考辨析，判断正误 (1)若曲线C上的点满足方程f(x，y)＝0，则坐标不满足方程f(x，y)＝0的点不在曲线C上.( ) (2)方程x＋y－2＝0是以A(2，0)，B(0，2)为端点的线段的方程.( ) (3)化简方程“|x|＝|y|”为“y＝x”是恒等变形.( ) 2.曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是( ) A.(0，0) B. C.(1，5) D.(4，4) 3.若“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，那么( ) A.方程f(x，y)＝0的曲线是C B.方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C C.f(x，y)＝0是曲线C的方程 D.以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 4.到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为_____. 题型一 曲线与方程的概念 例1 (1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么( ) A.曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0 B.凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在C上 C.不在C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0 D.不在C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0 (2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系： ①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系； ②第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系. 思维升华 判断方程是不是曲线的方程的两个关键点： 一是检验点的坐标是否适合方程； 二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上. 训练1 判断下列命题是否正确. (1)以坐标原点为圆心，r为半径的圆的方程是y＝； (2)过点A(2，0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2. ... ...
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