2025届河北省昌黎第一中学高三（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

2025 届河北省昌黎第一中学高三（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 = { | 2 6 < 0}， = { |1 ≤ 2 ≤ 8}，则 ∩ =( ) A. [1, √ 6) B. [0, √ 6) C. ( √ 6, 3] D. (0,3] 2.若 (2 ) = + 2 3，则 对应复平面内的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知向量 = (1,3), = ( 2,4)，且 在 上的投影为 ，则| | =( ) A. √ 5 B. √ 6 C. 2√ 2 D. √ 10 2 4.已知 + = ，且sin (2 + ) = ，则 2 + 2 =( ) 3 6 3 1 2 3 5 A. B. C. D. 3 3 8 6 1 5.已知圆柱的底面半径等于球 的半径，圆柱的侧面积与球 的表面积之比为 ，则圆柱外接球的体积与球 2 的体积之比为( ) 3√ 3 3√ 3 5√ 5 5√ 5 A. B. C. D. 4 8 8 4 6.已知定义在 上的函数 ( )满足： ( + 1)为偶函数， ( + 2) 2为奇函数，且 (3) = 2，则 (25) =( ) A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 7.已知函数 ( ) = 2sin cos 在[0, ]上的值域为[ 1,√ 5]，则tan 的取值范围为( ) [ 1 4 4 1A. , 2] B. [ 2, ] C. [ , 2] D. [ 2, ] 2 3 3 2 8.已知函数 ( ) = 2√ + | 1| 4恰好有3个零点，则实数 的取值范围为( ) A. ( 2,1] B. ( 3,1] C. ( 3, 2) D. ( 2,0) 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知(2 1) = ( + 1) + 1 1( + 1) + + 1( + 1) + 0且 为偶数，则( ) A. ∑ =0 = 1 B. 0 = 1 C. ∑ =1| | = 5 1 D. = 2 3 11 ( +1) 10.已知数列{ }的前 项和为 = ， = tan 1(tan tan +1 + 1)，数列{ }的前 项和为 ，则( ) 2 +1 +1 A. 2 = +1 B. = +1 2 C. = tan( + 1) tan D. = tan( + 1) 第 1 页，共 10 页 11.由坐标原点 向双曲线 = ( > 0)的各条切线作垂线，垂足对应的轨迹曲线 如下图所示，若 = 2， 点 ( , )( > 0)在曲线 上，则( ) A. 的方程为( 2 + 2)2 = 4 B. 曲线 关于直线 = 对称 4√ 5 C. 点 到两坐标轴距离之积的最大值为2 D. 若 的斜率为2，则| | = 5 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.曲线 ( ) = cos 在(0,0)处的切线被圆 : ( 1)2 + ( + 1)2 = 5截得的弦长为 ． 2 2 13.已知 是椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)上第一象限内的点， 在 轴的正半轴上，连接 ，并延长与 轴 交于点 ，且 恰好为 的中点，点 关于 轴的对称点为 ，连接 ，设直线 ， 的斜率分别为 1， 2，若 1 + 2 = 0，则椭圆 的离心率为 ． 14.2024年6月中专生姜萍以93分全球第12名的成绩入围全球数学竞赛决赛，成为社交媒体上的热门话题， 也使数学竞赛成为各大高校关注的焦点．某高校借此热度在数学系举行了模拟数学竞赛，经过选拔之后组 织了甲、乙两个竞赛队进行冠亚军争夺赛．比赛时，主持人先展示出一道题目，再从标有1，2，3，4的四 张卡片中随机抽取一张，若数字为奇数，则由甲队答题，若数字为偶数，则由乙队答题，在规定时间内， 若答对本题，则本队得10分，否则对手得10分．按照这种方式依次进行下一题的答题，直到其中一个队的 5 4 得分超过另一个队30分，比赛结束，分高者为冠军．已知甲、乙答对每道题的概率分别为 、 ，且互不影 9 9 响，前3道题，甲队获得20分的概率为 ，若第一个问题甲队得10分，恰好回答完第7道题后决出冠军， 则乙队获得冠军的概率为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题12分) 记 的内角 , , 的对边分别为 , , ，已知sin + cos = 0，且 = √ 3 ． (1)求 ； (2)若 = 2，记∠ 的角平分线与 交于点 ，求 ． 16.(本小题12分) 第 2 页，共 10 页 如图，在三棱锥 中， 为 的中点， 在线段 上．已知 = , = = 2，∠ = 120 , = 3, = √ 10． (1)求证：平面 ... ...