第八讲 ：公因数与公倍数 知识精讲 短除法. 公因数就是几个数公共的因数，其中最大的一个称为最大公因数；公倍数就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数.特别的，1为所有数的公因数. 1、2、3和6都是24和30的公因数，6是最大公因数.可以发现1，2，3和6都是6的因数. 12和18的公倍数有36,72,108,…36是最小公倍数.可以发现36,72,108及其他公倍数都是36的倍数. 通常，我们把两个数a,b的最大公因数记为(a，b)；a，b的最小公倍数记作[a，b].三个数a,b,c的最大公因数记为(a，b，c)；a，b，c的最小公倍数记作[a，b，c].如：14和21的最大公因数是7,记作：；14和21的最小公倍数是42，记作：[14，21]=42.15，10，21的最大公因数是1，记作：；15，10，21的最小公倍数是210，记作[15，10，21]=210. 若两个数互质，那么它们的最大公因数就是1,最小公倍数就是它们的乘积；若两个数成倍数关系，那么它们的最大公因数就是较小的那个数，最小公倍数就是较大的那个数. 在现实生活中我们常常会用到几个数的最大公因数和最小公倍数，那么我们怎样来求几个数的最大公因数和最小公倍数呢 除了直接枚举之外，最常用的方法是“短除法”. 分解质因数法. 分解质因数法比较实用，也利于我们分析数的构成. 公因数与公倍数的应用. 学习了如何求公因数与公倍数，接下来看一下在实际生活中如何运用公因数与公倍数解决问题. 题型汇总 题型一：短除法求最大公因数与最小公倍数 1．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数． 45和9 24和16 【答案】 45和9的最大公因数是3×3＝9． 45和9的最小公倍数是3×3×5×1＝45． 24和16的最大公因数是2×2×2＝8． 24和16的最小公倍数是2×2×2×3×2＝48． 2．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数． 36和54 19和57 【答案】 36和54的最大公因数是2×3×3＝18，最小公倍数是2×3×3×2×3＝108． 19和57的最大公因数是19，最小公倍数是19×3＝57． 题型二：分解质因数法求最大公因数与最小公倍数 1．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 6和18 18和24 35和84 【答案】6；18； 6；72； 7；420； 【分析】两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答；同时考查了求两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；最小公倍数为较大的数。 【详解】6和18是倍数关系，最大公因数是6，最小公倍数是18； 18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 最大公因数6，最小公倍数72； 35＝5×7 84＝2×2×3×7 最大公因数7，最小公倍数420。 【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数的知识点，根据定义仔细解答即可。 2．写出下面每组数的最小公倍数和最大公因数： 20和30 65和39 8和6 7和11 60和12． 【答案】①20=2×2×5 30=2×3×5 最大公约数是2×5=10 最小公倍数是2×2×5×3=60 ②65=5×13 39=3×13 最大公因数是13 最小公倍数是3×5×13=195 ③8=2×2×2，6=2×3 最大公因数是2 最小公倍数是2×2×2×3=24 ④7和11是互质数 最大公因数是1 最小公倍数是7×11=77 ⑤60是12的倍数 最大公因数是12 最小公倍数是60． 【详解】试题分析：对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；对于两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数；是互质数的两个数，它们的最大公约数是1，最小公倍数即这两个数的乘积． 解：①20=2×2×5 30=2×3×5 最大公约数是2×5=10 最小公倍数是2×2×5×3=60 ②65=5×13 39=3×13 最大公因数是13 ... ...
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